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《第四届丘成桐中学数学奖获奖论文－Heron三角形的构造及性质研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Heron三角形的构造及性质研究华南师范大学附属中学霍泽恩指导教师郝保国丘成桐中学数学奖Heron三角形的构造及性质研究华南师范大学附属中学霍泽恩摘要：本文主要是采用构造的方法,构造了一般Heron三角形、倍角Heron三角形、角平分线为有理数的Heron三角形以及Heron四边形.每次构造都给出了具体详细的过程,思维清晰,有迹可寻.利用高中数学知识推导了垂足三角及其伴随三角形、切点三角形可成为Heron三角形的条件,以及倍角Heron三角形与Heron四边形边的通式.利用高中数学与初等数论的知识,探究了角平分线为有理数的Heron三
2、角形与至今未解决的PSTP（完全平方三角形）问题的联系,也比较全面地研究了三边成等差数列的Heron三角形的各种结论.最后利用本原勾股三角形的知识和解不定方程组,解决了完全长方体中一类比较特殊的问题.ThispaperstudiestheconstructionofgeneralHerontriangles,Herontriangleswithmultipleangle,Herontriangleswithrationalanglebisectors,andHeronquadrilaterals.Allconstructionsint
3、hispaperhaverigorousproofsandeasy-to-followsteps.Usinghighschoolmathematics,wefindtheconditionsneededforapedaltriangleanditsaccompanyingtriangle,andthetrianglethroughthepointoftangencytobeHerontriangles.TheformulasforconstructingHerontriangleswithmultipleangleandHeronqu
4、adrilateralsarefoundaswell.Usinghighschoolmathematicsandelementarynumbertheory,westudytherelationshipbetweenHerontriangleswithrationalanglebisectorsandtheunsolvedPSTPproblem(PerfectSquareTriangularProblem).WealsostudyHerontriangleswhosesidesformarithmeticprogressions.Us
5、ingprimitivePythagoreanTriangleandasystemofdiophantineequations,wesolveaspecialkindofprobleminthePerfectCuboidProblem.关键词：构造、研究、Heron三角形、Heron四面体、完全平方三角形、完全长方体.一.引言与预备知识三边为整数,面积也为整数的三角形叫Heron三角形.老师在数学选修课上对我们讲,Heron三角形研究由来已久,数学历史上,大师欧拉研究过,大师高斯构造了外接圆半径为整数的Heron三角形.近代特别是近三
6、十年,国内外数学界对Heron三角形的研究又热了起来.研究Heron三角形有时要用到初等数论的知识,因我原是初中奥校的学生,老师希望我利用课余研究.我接受老师的任务以后,阅读了大量的相关书籍和文章.沈康身老师的书《数学的魅力》,杨世明老师的书《三角形趣谈》,盛立人与严镇军老师的书《从勾股定理谈起》,讲述了Heron三角形的前世今生及研究的现状,使我受益匪浅.山东济宁教育学院的朱道勋1丘成桐中学数学奖Heron三角形的构造及性质研究华南师范大学附属中学霍泽恩老师在文[1]中,讨论了Heron三角形的若干重要性质；天津教育学院的边欣与李忠
7、民老师在文[2]中,证明了Heron三角形系列新的结论；华东石油大学孙延照老师在文[3]中,研究了某些特殊Heron三角形的共同之处；陕西镇安县中的曾丕刚老师在文[4]中,研究了内切圆半径为整数的Heron三角形；四川永川的姚勇老师在文[5]中,研究了周长是面积k倍的Heron三角形.这些文章都对我的启发很大.因为研究Heron三角形的人多,文章质量也高,我只能采取见缝插针、另辟溪径的方法,利用近一年的课余时间探究得到了一些的比较满意的结论,现从以下几个方面,择其主要结果来介绍我的研究.为了行文的需要,先介绍一些预备知识和文章中的某些
8、约定：1.a,b,c,p,S,r,R分别表示三角形三边,半周长,面积,内切圆半径,外接圆半径.a,b,c所对角分别是A,B,C.(1)S=p(p―a)(p―b)(p―c)abc(2)===2RsinAsinBsinC22
