丘成桐中学数学奖获奖论文－数独的计数、分类与图案设计-2011免费

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1、数独的计数、分类与图案设计国别，省份：中国浙江省参赛队员：李梦鸽（杭州市浙大附中高三(6班)）指导教师：杨一超、李刚豪（杭州市浙大附中）1摘要在本文中，我们研究六角数独的计数问题。首先，我们用多项式的Grobner基理论方法，给出计算六角数独的总数的方法，并给出了总数的一个估计值。其次，我们考虑六角数独关于旋转群的对称性，利用群论著名的Burnside引理，给出了旋转对称的等价意义下的六角数独的总数。最后，我们研究六角数独拼接成可无限延展的圆形几何图形的设计方案，并提出了拼图效率的概念，给出了拼图效率的变化规律。AbstractTheaimofthispa

2、peristostudyhowtocountthenumberofhexagonalsudokus.Firstly,usingthemethodofGrobnerbasistheoryofpolynomials,weshowthewaytocountthenumberofhexagonalsudokusandgiveanestimateofthenumber.Second,weconsiderthesymmetryofhexagonalsudokusundertheactionofthecyclicgroupoforder6.UsingthefamousB

3、urnsidelemmaingrouptheory,thenumberofhexagonalsudokusunderthesymmetryofrotationgroupisobtained.Lastly,wediscussthedesignprojectofthecirculardiscwithanyradiusviaspellinghexagonalsudokus,thentheconceptofspellingefficiencyisintroducedanditschangingruleisshown.2引言“数独”（sudoku）一词来自日语，意思

4、是“单独的数字”或“只出现一次的数字”。概括来说，它就是一种填数游戏。但这一概念最初并非来自日本，而是源自拉丁方，它是十八世纪的瑞士数学家欧拉发明的.现在最常见的数独是9×9的数独，经常在一些报纸上作为给读者的智力游戏出现，吸引着“数独迷”们的兴趣，并有数独填写游戏的比赛。本文中研究的六角数独是众多变形数独中的一种。通过对于规则的重新定义与分析，我们可以发现其中存在着大量有趣的数学性质。本文我们主要研究六角数独的计数、分类与图案设计。21在大量查阅文献后，我们发现仅所有9×9的数独就约有6.671×10种，见文献[7]。因此，我们讨论六角数独的方法是把数独

5、的计数问题转化为多项式方程的解的个数问题，然后选择利用代数中多项式的Gröbner基理论，来计算所有数独的个数。在此过程中，我们的主要方法是借助电脑来计算多项式环的某一理想的Gröbner基。同时，类比于4×4数独在变换下只有3种本质不同的数独，我们发现六角数独同样具有某些对称性质（旋转对称）。因此，我们可以给出在旋转变换下的不变量.即在已知个数的条件下，利用有限群的Burnside定理来将数独分类，求出不同数独类的类数和每个数独类所含数独的个数。我们考虑的六角数独的定义如下：①每个三角填入的9个数字互不相同②每行填入的9个数字互不相同，如一行的数字不足9

6、个，将和其对应相连的大三角顶角共同组成，如下图蓝色区域所示.③每“/”型斜边的9个数字互不相同，如不足9个，同②④每“”型斜边的9个数字互不相同，如不足9个，同②3即每个大三角、水平线、向左的斜线和向右的斜线都不重复的填入数字1～9，另外它每级线中的第一和最后一条将和其对应相连的大三角顶角共同组成。从该数独的几何性质来看，六角数独的形状十分匀称，均由正三角形组成，可拼接成可无限延展的几何图形，并且其中规则的镶嵌有大小统一的空隙。因此，我们考虑到可以用该几何图形做成如地砖等具有规则形状的统一图案的物件。通过计算，我们可以得到最省材料的、规则形状的设计个数的

7、种类，为可能的产品种类设计提供方法。因此，我们的讨论分三部分：首先，我们用多项式的Grobner基理论方法，计算出六角数独的总数。在这一层面上，我们是把六角数独不同方向的数据分布看作不同的。其次，我们考虑六角数独关于旋转的对称性，利用群论的Burnside引理，我们给出了旋转对称的等价意义下的六角数独的总数。最后，我们研究六角数独拼接成可无限延展的圆形几何图形的设计方案。由于该圆形图案所包含六角数独的个数决定于圆盘的半径和面积大小，所以我们提出了拼图效率的概念，即单位圆盘面积所含数独的个数，给出了拼图效率的变化规律。这个规律，可以成为我们找到最省材料的、规

8、则形状的设计圆盘图案的方案。显然，在数独中，各个数1,2,…,9（