第三讲-函数的极值、最值与导数

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1、第三节函教的极值与导数1•函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数円⑴在点尸Q的函数值心)比它在点尸G附近其他点的函数值一都小，广@)=0,而且在点尸Q附近的左侧广(x)vo，右侧厂3＞0，则点Q叫做函数尸/U)的极小值点,,/(a)叫做函数y=/(x)的极小值.(2)函数的极大值若函数尸心)在点的函数值妙)比它在点附近其他点的函数值一都大，广(b)=0,而且在点尸b附近的左侧⑤厂(力＞0，右侧广(力＜0，则点〃叫做函数『=心)的极大值点,fib)口L

2、做函数)泓兀)的极大值.注:极大值和极小值统称为极值.题型一、求函数的极值【例1】求下列函数的极值32x(l)/(x)=

3、-+引nx；(2朋)=斗7—2.【变式1】求函数y=/-4?+5的极值.题型二已知极值求参数值【例2】已知函数fix)=ax3+hx1+cx(a0)在尤=±1处取得极值，且夬1)=一1.(1)求常数a,b,c的值;(2)判断兀=±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.【变式2】已知函数fix)=x3+cix2+bx+c,且知当％=—1时取得极大值7,当兀=3时取得极小值，试求函数/U)的极小值，并求b、c的值.题型三极值的综合应用【例3】(12分)设d为实数,函数J(x)=-x3+3x+a.(1)求几t)的极值；(2)是否存在实数°,使得方程夬兀)=0恰

4、好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【变式3】设函数y(x)=x3—6x+5,xUR.(1)求函数几x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程j[x)=a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围.方法技巧总结1•利用导数研究函数极值问题的一般流程2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领（1）列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解.（2）验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.第罚节函数的最大（小）值与导数2•函数的最值与导数一般地，求函数円＞）在S0］上的最大值与最

5、小值的步骤如下：⑴求函数尸心）在（。上）内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值血）、“）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注:如果在区间也0］上,函数）=Ax）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.题型一求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：（1畑=-?+2卫+3,xe［-3,2］；（2笊兀）=»—3”+6兀一2,［—1,1］.【变式1】求下列各函数的最值：（1）/（%）==2x3—6x2+3,2,4］；sinx,xW[0,2兀]•题型二含参数的最值问题【例2】已知a是实数，函数fix)=xx-a).(1)若f(l)=

6、3,求a的值及曲线y=fix)在点(1,川))处的切线方程.(2)求几兀)在区间［0,2］上的最大值.题型三函数导数的综合应用【例题31(2017年新课标I卷21题12分)已知函数f(x)=ae2x-^-(a-2)ex-x.(1)讨论/(兀)的单调性；(2)若.f(x)有两个零点，求臼的取值范围.【例题4］(2016年新课标I卷21题本小题满分12分)己知函数fO)=(%-2)ex+a(x一1)2有两个零点.(D求日的取值范围；(II)设加也是/•(&)的两个零点，证明：衍+&〈2・