考研数学一真题06答案

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1、2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】.（2）微分方程的通解是【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为，两边积分得　，整理得　　　　　　　.（）（3）设是锥面的下侧，则.【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：，取上侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设：，取上侧，则　　　　　.而　＝，　　.中国教育在线考研频道www.

2、kaoyan.cn所以　.（4）点到平面的距离.【分析】本题直接利用点到平面距离公式　　　　　　　进行计算即可.　其中为点的坐标，为平面方程.【详解】.（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2.【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则.【分析】利用的独立性及分布计算.【详解】由题设知，具有相同的概率密度　　　　　　　　　　　　.则　.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：　　　　　　　　　　

3、　则　.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).　　　　　(D)　.　　[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设为连续函数，则等于（Ａ）.（B）.(C)　.　　(D).[Ｃ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题

4、设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn　　　　　　原式.故选（Ｃ）.（9）若级数收敛，则级数(A)收敛.　　　　　　　（B）收敛.(C)收敛.　　　　　(D)收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).　　　　　或利用排除法：　　　　　取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；　　　　　取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　

5、　　　　[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn，即.消去，得　　　　　　　,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）.（11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.[C]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).（1

6、2）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　Ｂ　］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn　　　　，而　，则有.故应选（Ｂ）.（13）设为随机事件，且，则必有(A)(B)(C)　　(D)[B]【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】由题设，知，即.又　.故应选(Ｃ).（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且　　　　　　则必有(A)　　　　

7、　(B)(C)　　　　　　　(D)　　　　　[D]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，　　　则　，即.　　　其中是标准正态分布的分布函数.　　　又是单调不减函数，则，即.故选(A).中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域，计算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，