06考研数一真题和答案

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1、中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）______【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】.（2）微分方程的通解是______【详解】原方程等价为，两边积分得　，整理得　　　　　　　.（）（3）设是锥面的下侧，则______【详解】设：，取上侧，则　　　　　.而　＝，　　.所以　.（4）点到平面的距离______【分析】本题直接利用

2、点到平面距离公式　　　　　　　中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户进行计算即可.　其中为点的坐标，为平面方程.【详解】.（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则______【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数

3、，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).　　　　　(D)　.　　[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设为连续函数，则等于（Ａ）.（B）.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户(C)　.　　(D).[Ｃ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即

4、可.【详解】由题设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则　　　　　　原式.故选（Ｃ）.（9）若级数收敛，则级数(A)收敛.　　　　　　　（B）收敛.(C)收敛.　　　　　(D)收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).　　　　　或利用排除法：　　　　　取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；　　　　　取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(

5、C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　　　　　[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得　　　　　　　,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）.（11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关

6、，则线性无关.[C]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　Ｂ　］中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的

7、性质可得.【详解】由题设可得　　　　，而　，则有.故应选（Ｂ）.（13）设为随机事件，且，则必有(A)(B)(C)　　(D)[B]【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】由题设，知，即.又　.故应选(Ｃ).（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且　　　　　　则必有(A)　　　　　(B)(C)　　　　　　　(D)　　　　　[D]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，　　　则　，即.　　　其中是标准正态分布的分布函数.　　　又是单调不减函数，则，即.

8、中国教育在线考研频道www.kaoyan.cn中国教育在线（www.kaoyan.cn）中国最权威考研门户故选(A).三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域，计算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则　　　　　，故　.