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《07考研数一真题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2)曲线，渐近线的条数为_______【详解】因为，所以为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，==，于是有斜渐近线：y=x.故3条(8)设矩阵,,则A与B_______(填是否合同，相似)【详解】由得A的特征值为0,3,3,而B的特征值为0,1,1,从而A与B不相似.又r(A)=r(B)=2,且A、B
2、有相同的正惯性指数,因此A与B合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)(11)=_______【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】=(12)设f(u,v)为二元可微函数，，则=_______【详解】利用复合函数求偏导公式，有=(13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为_______其中为任意常数.【详解】特征方程为，解得可见对应齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k=−2.故通解为(14)设曲面，则=______
3、_【详解】由于曲面关于平面x=0对称，因此=0.又曲面具有轮换对称性，于是======(15)设矩阵,则的秩为_______.【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r()=1.三、解答题：(17－24小题，共86分.)(17)(本题满分11分)求函数在区域上的最大值和最小值。【分析】由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为，，解方程：得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数解方程组得可能极值点
4、：，其对应函数值为比较函数值，知f(x,y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.(18)(本题满分10分)计算曲面积分其中为曲面的上侧。【分析】本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：，取下侧.则=其中为与所围成的空间区域，D为平面区域.由于区域D关于x轴对称，因此.又=其中.(19)(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(
5、a),f(b)=g(b),证明：存在，使得【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，则问题转化为证明,只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在,使得，若，令,则若，因，从而存在，使在区间
6、上分别利用罗尔定理知，存在，使得.再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有，即(20)(本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数y(x)满足(I)证明：(II)求y(x)的表达式.【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详解】(I)记y(x)=,则代入微分方程有即故有即(II)由初始条件知，于是根据递推关系式有故y(x)===(21)(本题满分11分)设线性方程组 ①与方程②有公共解，求a的值及所有公共解．【分析】两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性
7、方程组有解.【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:③若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵作初等行变换得:.于是1°当a=1时，有=2<3，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时，此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:,所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.2°当a=2时，有=3，方程组③有唯一解,此时，故方程组③的解为:,即①与②有唯一公共解:为.(22)(本题满分11分)设3阶对称矩阵Ａ的特征值是Ａ的属于的一个
8、特征向量,记其中为3阶单位矩阵.(I)验证是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．(II)求矩阵Ｂ．【分析】根据特征值的性质可立即得B的特征值,然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】(I)由得,进一步,，故，从而是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因,及Ａ的3个特征值得B的3个特征值为.设为B的属于的两个线性无关的特征向量,又Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵,因此与正交,即所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：,其基础解系为:,,故可取=,=.即B的全部
