初中整式乘法因式分解讲义

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1、【整式乘法、因式分解讲义】一.教学内容：幕的运算和整式乘法二.学习要点：1•掌握幕的三种运算，并能灵活运用其解决一些数学问题。2.掌握进行整式乘法的方法。二.知识讲解：（一）幕的运算1•同底数幕的乘法同底数幕和乘，底数不变，指数相加。aa=a（m、n为正整数）；a,n+n=am推广：『FFfai*gn、p为正整数）2.幕的乘方幕的乘方底数不变，指数相乘。(m、n为正整数）:列=@打推广:（m、n、p为正整数）3.积的乘方积的乘方是把枳中每一个因式分别乘方，然后把所得的幕相乘。㈣r=a・"（m为正整数）；amb,n=（ab）,n推广:（m

2、为正整数）（二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，用它们系数的积作为积的系数，相同字母的幕相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数-•起作为积的一个因式。2.单项式乘以多项式单项式乘以多项式就用这个单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如+A+<）3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。如.{a+jb）=

3、：它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。②右边是乘式中两个项的平方差。②公式中的a,b可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式）2•两数和的完全平方公式：两数差的完全平方公式：（"研“-为*期它们的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，屮间一项是二项式中两项积的2倍。③式中的a,b可以是数，单项式或多项式。（四）因式分解重点：理解因式分解的含义，会用捉公因式法和公式法进行因式分解。1.因式分解把一个多项式化为儿个整式的乘积形式，

4、就是因式分解。因式分解与整式乘法互为逆运算。2.提公因式法多项式ma+mb+me中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称Z为公因式。把公因式提出来，多项式ma+mb+me就可以分解为两个因式m和（a+b+c）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫捉公因式法。注意：（1）提公因式时，必须是所有项的因式。（2）公因式的系数是多项式屮各因式系数的最人公约数。（3）公因式中字母的指数应是各因式小相同字母的指数的最低次。3.公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。/=（＜1+A）J注意：（1）总项数（三项、两项）、以及平方项的系数符号

5、（同号、界号）⑵平方数培养数感：能认出题中的平方数（1,4,9,丄……）4（3）分清公式中的3、b（可以是数，单项式或多项式）4.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一纟R,并提岀公因式a,把它的后两项分成另一纟fl,提出公因式b,从而得到＜»（*+*）+*（«+*）,这时又有公因式C»+»）,于是提出C»+»）,从而得到,这种方法叫分组分解法。注意：（1）总项数（四项或四项以上）（2）常见题多为四项，二四分：两两分组，再提公因式。一三分：一个三项一组（用完全平方公式

6、），另一个一项一组（平方项），这两组再用平方公式。1.十字相乘：对于二次项系数为1的二次三项式X2+px+q,寻找满足ab二q,a+b二p的a,b,如有，则x?+px+q=(x+tz)(x+/>);对于一般的二次二项式ax?+bx+c(dH0),J找满足aia2=a,C]C2=c,aiC2+a2Ci=bWaPa2,cPc2,女U有，贝liax2+bx+c=(tz1x+c1)(6r2x4-c2).2.分解的步骤一般是：(一提、二套、三检查)①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没冇公因式，那么可尝试运用公式、V字相乘法来分

7、解；③如果用上述方法不能分解，那么町以尝试川分组、拆项、补项法來分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.【典型例题】例1.分解因式(1)5jt-5jP(2)八4(3)分析：(1)先提公因式5x,提公因式后另一个因式为仍可用平方差公式继续分解。分析：(2)W直接用平方差公式解：xa-4=(x-2)(x+^分析：(3)各项都含有公因式a,应先提公因式，再用完全平方公式继续分解。解.

8、-/分析：根据平方差公式和完全平方公式的结构特征(fl-t>a=«a-2«+l,(