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《专题十二：数列中由递推式求通项式方法解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、递推数列问题分类解析数列是高考的必考内容，通常是一个大题一个小题，分值为17分，人题屮第一小题,通常是求数列通项公式，所给岀的条件通常是递推公式或可化为递推公式，故递推数列问题是高考中的重点和热点。其中一阶线性递推数列和二阶线性递推数列是基础，对鬲阶递推数列或非线性递推数列，通常可通过作差、因式分解、取对数等方法将其化为一阶或二阶线性递推数列问题，本文将求递推数列的通项公式问题分类作以介绍，供同学们复习时参考。一、递推公式为d曲=J+/(77)形式数列的通项公式问题若将数列所给条件通过变形化%f(n+1)=/(/?)+gCn)形式，再转化为f(n+1)-
2、/(h)=g(n)形式，利用迭加法或递推法先求出/(h)的通项公式，再根据/⑺)与％的关系，求出的通项公式。例1(06安徽卷)数列色}的前〃项和为Sn,已知d严*,s”=h-/?(77-I),«=1,2,…写出S”与的递推关系式(/t>2),并求S“关于斤的表达式；分析：要写出S,円Sp的递推关系式(/1>2),即应化去条件中的①，得到S,円的递推关系式，再求S“的通项公式。解析：(法一:迭加消去法)IJ=Sn-Sn_}(n>2),・・・S”=n2(S“-)一n(n-1),,22fl故S“与S,I的递推关系式为S”=——St+—J”八"(n+1)(/7
3、-1)M1n+1斤+1nnn-由-S—]=1，"s“_[-S—2=1，nn---2—Sw-2S1=n-l,又S严坷=丄,所以S”n2(法二：迭代法)•・•an=Sn-S”_](h>2),ASfln232•••'护〒严1相加得:故二与S心的递推关系式为S”二n2,当〃=1时，也成立。n+1=7『(S“-S”_J-川0-1)，S”_
4、+亠n2S=s“(/?+l)(n-1)n(n-l)=□(n+1)(/1—2)n(n-2)n-2(n+1)(/?-1)n+1nn2r(n-)2o72-Ln+二[S,—+1+n+1(/?+1)(〃一1)n(n-2)~nn
5、+1Inn(n-)r(n-2)2en—2、2n+—=——[——Slt_.+]+斤+1(/?+1)(h-2)(h-l)(n-3)n-+12n+(料_1)”_2n1(n-1)/?(〃+l)l、/?+1n+12n+17Z-1打一2S3+(斤+1)(/1-3)72+1n2n+17rr77+1当斤=1时，也成立。所以S”点评：(1)将所给条件化为/(n+l)-/(n)=
6、律。二、递推公式为碍和=/（〃）％形式数列的通项公式问题。若将数列所给条件通过变形化为f（n+1）=g（n）f（n）形式，再转化为々+°=g5）/（〃）形式，利用迭乘法或迭代法先求出/⑺）的通项公式，再根据.f⑺）与色的关系，求出的通项公式。例2已知数列｛①｝各项均为正，满足％=1,-色+厲一（〃+1）疋=0,求数列的通项公式。分析1：先将所给条件变形得（勺+】+色）[叫屮―（〃+1）%]=0,•・•wRJH+1弘7”+]-O+l）afl=0,即aft+l=an,用迭代法或迭乘消去法求通项公式。n解析1：（迭乘消去法）分解因式得（Q“+]+%）[%/“+
7、]-0+1）4」=0,anGR",...£1-2—99—a_2〃一2®1/.nall+}一（斤+l）an=0,即-=Z?+^,.二-二—^―annan-~[an两边分别相乘得丄=—,乂T®=1,・・・色=〃at1分析2：先根据递推公式求出前四项，归纳出通项公式，再用数学归纳法证明。解析2：（归纳法）分解因式得（an+l+an）[nan+[-（n+l）atl]=0,71+1•・•aflg/?*,・•・nan+｝-（n+l）a“=0,即a曲=J，n乂・tZj—1,••ci-）=2,6/3=3,ci=4,,牙占想ci—ri9下面用数学归纳法证明（i）当斤=
8、1时，a｝=1成立（ii）假设n=k时,ak=k成立当〃=a+l时，ak+]=ak=xk=R+l成立kk综上所述，所求数列的通项公式为色=刃点评：将所给条件化为/（H+l）=g（/l）/（77）形式是难点，常用转化方法有：乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数、取倒数等。木题也可用迭代法。例3已知数列｛an｝满足，CZ,=1,a”】=3色+2”,求数列[an｝的通项公式。分析：%=3陽+2”可变为a曲+2”+】=3（an+2”）,©+2n是等比数列,用等比数列通项公式，先求出色+2”的通项公式，从而求得｛色｝的通项公式。解析：（构造数列法）由5+】
9、=3色+2"变形得色+】+2初=3（色+2"）,设仇％〃+2"・・・仇是首项为3
