模拟考试数学试题(含参考答案和评分标准)

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1、南京市2011届高三第一次模拟考试试卷数学2011.01参考公式：1.样本数据的方差，其中是这组数据的平均数。2.柱体、椎体的体积公式：，其中S是柱（锥）体的底面面积，是高。一、填空题：（5分×14=70分）1.函数的定义域是▲.2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为▲.3.已知实数满足则的最小值是▲.4.如图所示的流程图，若输入的，则输出的结果为▲.5.在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则点P在圆内部的概率为▲.6.已知平面向量满足，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为▲.7.

2、为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为▲.8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为▲.9.已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为▲.10.已知正数数列对任意，都有，若，则=▲.11.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列命题：①若则；②若则；③若则；④若则.其中真命题是▲（写出所有真命题的序号）.12.已知，若实数满足，则的最小值是▲.13.在△ABC中，

3、已知BC=2，,则△ABC面积的最大值是▲.14.若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数则的“友好点对”有▲个.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.15.（本题满分14分）已知函数的最小正周期为，且.（1）求的值；（2）若，求的值。16.（本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是BC和的中点.（1）求证：∥平面；（2）若平面ABC⊥平面，，求三棱锥的体积。17.（本题满分14分

4、）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.18.（本题满分16分）在直角坐标系中，中心在原点O，焦点在轴上的椭圆C上的点到两焦点的距离之和为.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在轴下方，且.求过O、A、B

5、三点的圆的方程.19.（本题满分16分）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数构成一个等差数列，记为，且.表中每一行正中间一个数构成数列，其前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且.①求；②记，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围.20.（本题满分16分）已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围.南京市2011届高三第一次模拟考试

6、数学附加题2011.0121.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.A.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A、B），过C作圆O的切线，过A作直线的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB=CE.B.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数的值.C.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C：和直线相交于A、B两点，求线段AB的长.D.选修4-5:不等式选讲解不等式.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.2

7、2.如图，在直三棱柱中，，M是的中点.（1）求证：;（2）求二面角的平面角的大小.23.已知等比数列的首项，公比，是它的前项和.求证：.