2012年北京市东城区高三一摸数学理科答案

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1、北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、D2、A3、A4、B5、C6、C7、D8、A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、10、11、84乙12、13、，；14、注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（共13分）解：（Ⅰ）因为,………6分所以函数的最小正周期为.…………8分（Ⅱ）依题意,[].…………10分因为，所以.…………11分当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.…………13分16、（

2、共13分）解：（Ⅰ）由题设知，的可能取值为，，，.…………2分，，，.…………6分由此得的分布列为：…………8分（Ⅱ）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有件.由题设知，解得，又，得，或.…………10分2012东城高三一模数学理科第5页共5页所求概率为.（或写成）答：生产件甲产品所获得的利润不少于万元的概率为.…………13分17、（共13分）（Ⅰ）证明：取中点，连结.因为，，所以，而，即△是正三角形.又因为,所以.…………2分所以在图2中有，.…………3分所以为二面角的平面角.又二面角为直二面角，　所以.…………5分又因为,　所以⊥平面,即⊥平面.…………6分（Ⅱ）解：由（

3、Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，.在图１中，连结.因为，所以∥，且.所以四边形为平行四边形.所以∥，且.故点的坐标为（1，，0）.图2所以，，.…………8分不妨设平面的法向量，则即令，得.　…………10分所以.…………12分2012东城高三一模数学理科第5页共5页故直线与平面所成角的大小为.…………13分18、（共14分）（Ⅰ）解：.…………2分由题意有即，解得或（舍去）．…………4分得即，解得．…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，．在区间上，有；在区间上，有．故在单调递减，在单调递增，于是函数在上的最小值是．…………9分故当时，有恒成立．………

4、…10分(Ⅲ)解：．当时，则，当且仅当时等号成立，故的最小值，符合题意；…………13分当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是．…………14分19、（共13分）2012东城高三一模数学理科第5页共5页（Ⅰ）解：由已知（…………2分）解得，．…………4分故所求椭圆方程为．…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．设，则．于是直线方程为，令，得；所以，同理．…………7分所以，.所以．所以，点在以为直径的圆上．…………9分设的中点为，则．…………10分又，所以．所以．…………12分因为是以为直径的圆

5、的半径，为圆心，，2012东城高三一模数学理科第5页共5页故以为直径的圆与直线相切于右焦点．…………13分20、（共14分）解：（Ⅰ），．…………2分（Ⅱ）；；．…………6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对，有．…………8分所以当时，…………11分于是，．所以，．…………13分又，满足上式，所以对，．…………14分2012东城高三一模数学理科第5页共5页