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1、第十四、十五章条件极值与隐函数习题课一、重要内容1、极值1）、无条件极值的计算和判断主要步骤：i）、计算可疑点：驻点+偏导数不存在的点。Ii）、判断A）、判断可疑点几为极值点，常用方法：a）、定义法：计算Af=/（p）-/（p0）,若存在某个心），使得在t/（p0）.上恒成立a/>o,则几为极小值点；若存在某个U（pQ）,使得在US。）上恒成立A/*<0,则Po为极大值点。b）、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若耍求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值,则唯一的可疑点必是极大值点；即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值
2、点。c）、驻点处极值性质的二阶导数判别法（二阶微分法）。通过Po的Heisen矩阵H的正定或负定性判断/?0点的极值性质。B）、判断可疑点几不是极值点，常用方法有：a）、定义法：对任意的U（pJ,确定一对点p「p2wU（po）,使得Af(Pl).Af(p2)<0则，几不是极值点。b）、二阶导数法：H为不定矩阵吋，几不是极值点。2）、条件极值的计算与判断主要步骤：i）、构造L・函数;ii）、计算L・函数的驻点；iii）、判断，常用方法为二阶微分法。3）、隐函数极值的计算4）、极值的应用主要有计算函数闭区域上的最值；证明多元不等式。2、隐函数存在定理要求：熟练掌握极值和条件极值的计算和应
3、用，了解隐函数存在定理。二、典型例题例1、讨论z=/（X,y）=（y-x2Xy-2x2）的极值。进一步研究沿任意直线在几（0,0）的极值性质。解、先计算驻点。求解（fv=-6xy+8x2[fy=2y-3x2得唯一驻点几（0,0）。判断。计算得人（几）=0,人（几）=0,九（几）=2,H=0,故二阶导数法失效。（同样，〃2込
4、〃=2力2,因而不能确定对任意的（dx,dy）工（0,0）,都成立d2zp=2dy2>0,二阶微分法同样失效。）用定义判断。注意到Az=f（p）-/（Po）=（y-x2）（y-2兀2）因而，对任意Q〉0,取r充分小满足0＜彳1+*『＜p,则Pl(0,-y),p2
5、(r,-r2)et/(p0,p)且Az(p,)Az(p2)＜0,故p0(0,0)不是极值点。再考虑沿直线尸也在几(0,0)的极值性质。转化为无条件极值讨论。当^=0吋，沿直线)=0,函数乙转化为一元函数Z=2x4,IA1而无()=0为其极小值点，故刈■应的久(0,0)为函数z沿直线y=0的极小值点。当£工0时，沿直线y二kx,贝iJz=jt2x2-3fcv3+2x4,兀。=0为驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的几(0,0)为原两数z沿直线尸kx的极小值点。注、事实上，在原点几的任意邻域内，通过曲线y=/和=2兀2将邻域分成曲线y=兀2下面的部分、夹在两条曲线Z间的部分和曲线y=
6、2x2上而的部分，函数z在上下两部分上取值为正，在曲线间的部分取値为负，而仇血正取自使函数不同号的部分里。当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx总在曲线y=2/的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如p2,故Po是极值点。注、结论表明：设几为函数Z的定义域内某一点，沿任一过几直线，几为函数Z极值点，并不一定表明几点就是函数Z在其定义域内的极值点。例2>计算z=f(xfy)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6及x轴、y轴所围成的闭区域D上的极值和最值。解、先计算D内的极值点。求解fx=xy(S-3x-2y)=0fy=x4-x-y)=0的D内驻点p0(2,l)o(注
7、、(0,y)、(4,0)也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。)判断。计算得A=九(几)=-6小=/XT(Po)=—4,C=厶),(几)=-8,H=32,故，p()(2,1)为极犬值点1U寸应的极犬值为/(p0)=4o其次，计算边界上的最值。记D的边界为/,={(%,0):00,y>0,x+y=6}>/3={(0,y):0Wy<6}。则zlz)=0,z1^=0,gO)=z1人=2+(兀_6),计算得2(0)=max2(兀)=0,j?(4)=ming(x)=-64[0,6][0.6]最后，对内部极值和边界值进行比较。比较内部极值和边界值可知：函数z在D的
8、内部有极大值/(/70)=4,而在整个闭区域D上，函数的最大值为/(/;0)=4,最小值为/(4,2)=64.(AR、例3、设为正定矩阵，计算乜C)z=/(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在x2+y2=1±的最值。解、/在有界闭集D={(%,)；):/+)，2=1}上连续，因而存在最大值点卩】GWJ和最小值点卩2(兀2小)，故，最小值/(x2,y2)=Ax^+2Bx2y2+Cy22,乂由正定性得.fg,儿)>0。进一步计算如下：构造L=Ax~+2>Bxy
