第14-15章 极值和条件极值隐函数.doc

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1、第十四章极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。§1无条件极值一、基本概念：设定义在区域D上，。定义1：若在的某领域内成立：，对任意，称在点达到极大值，点称为的极大值点。注：类似可定义极小值（点）。注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。设为的极值点且设在点的偏导数存在。考虑一元函数，则在点取得极值，

2、因而：0，由多元函数偏导数的定义，则。类似：。故，若是极值点，则必有0，。定义2：若在点的偏导数存在，且满足0，，称为函数的驻点。定理1：设在点的偏导数存在，则点是的极值点的必要条件是是的驻点。上述定理1给出了偏导数存在的条件下点成为极值点的必要条件。有例子表明：上述的条件是不充分的。如，则(0,0)点为其驻点，但不是极值点。也有例子表明：偏导数不存在的点，也有可能是极值点，如：，轴上的任一点都是其极小值点。事实上，，，但可验证：偏导数不存在；事实上，故不存在。综上，极值点要么属于驻点，要么属于偏导数不存在的点，也就是说，我们必须在这两类点中寻找极值点，因此，如果我们在极值理论

3、中，把可能成为极值点的点称为可疑点，则可疑点由驻点和偏导数不存在的点组成，至于具体的可疑点中哪个点是极值点，必须进一步验证。对可疑的偏导数不存在的点，需要用定义验证此点的极值性质，对可疑的驻点，可以通过定义或更高级的方法――二阶导数法去验证，就是驻点成为极值点的二阶导数判别法：设为驻点，记，则时，应为极小值点；时，应为极大值点。为计算，利用Taylor展开和是驻点的条件，则=记，设具有连续的二阶偏导数，则，，其中：，故，=其中。记二次型：，则是否为极值就转化为二次型在单位圆S:上是否保号。进一步讨论之：若是正定的，即对任意的有>0，则，利用闭区域上连续函数的性质，作为的二元连续

4、函数必在闭区域单位圆上某一点假设点取得正的最小值，即，又：，故存在，当时，，因而：时，，故为f(x,y)的极小值点。类似：若为负定的，则为f(x,y)的极大值点。而当即非正定又非负定时，则不是极值点。我们用反证法说明这一事实，不妨设为极大值，构造一元函数：，则对任意适当小的，，在点取得极大值，由一元函数极值的理论：，但计算得=故，因而是负定的，这与条件矛盾。综上所述。定理2：设为的驻点，在附近具有二阶连续偏导，则1）且A>0时，为极小值点；2）H>0且A<0时，为极大值点；3）H<0时，一定不是极值点。注：H=0时，没有任何结论。总结：通过上述结论，计算函数极值之程序：1、求可

5、疑点，即驻点和偏导数不存在的点；2、验证和判断。例1：讨论的极值。解：由于，得唯一驻点，]进一步计算：，故H>0，A>0，为极小值点。例2：讨论的极值。解：计算得，得唯一驻点p，且H=0，（无法用定理来判定），由定义：故在曲线上：；在曲线上：，故不是极值点。事实上，对p点的任一邻域U(p，)，都可以找到一对点，其中r充分小，满足，则且，因而，不是极值点。定理2的推广：定理3：设为元函数，为的驻点，二次型=，则当正定时，为极小值点；当负定时，为极大值点；当不定时，不是极值点。最值：定义2：设在区域D上有定义，D，若，，称为在D上的最大值点，为最大值。注：1、类似定义最小值和最小值

6、点；2、最值是整体性概念；3、内部最值必是极值。我们知道，有界闭区域D上的连续函数必在D上取得最大（小）值，如何计算最值。类似一元函数求最值的方法为：先求极值；然后将极值与边值作比较，找出最大和最小的值即为最大值和最小值。例3：记D是由轴、轴与直线所围成的闭区域，求在D上的最大值。解：计算,D内部有唯一驻点,且=,而在边界x=0上，;在边界上;而在边界上,故最大值为。§2条件极值先看一个例子：例1：要制造一个容积为4的无盖长方形水箱，问水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省。分析：将其转换为数学问题。所谓用料最省，即指水箱的表面积为最小，因而，问题的实质是寻求表面积函数的最小值

7、。设水箱的长、宽、高分别为，则水箱的表面积：，由于水箱容积为4，故，因而：问题转化为：当为何值时，在条件下，可使取得最小值。像这类，计算在某些约束条件下的函数极值问题，就是多元函数的条件极值。在工程技术领域，众多的实际问题都可归结为多元函数的条件极值。接下来，我们将给出条件极值的一般表述方式，并给出条件极值的研究方法。问题的一般形式：计算元函数在约束条件：下的极值，其中。那么，如何求解条件极值问题？1、简单情形我们首先指出，对简单的条件极值可转化为无条件极值，即求解约束条件方程组，假设求得到