平稳随机过程与遍历性

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1、1.3平稳随机过程及其遍历性平稳性：若一个函数，当，的特性不变，就称关于函数是平稳的。对确定函数来说：特性不变指函数值不变。对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，且仅仅对时间变量t而言。分类严格平稳宽平稳（广义平稳）12随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有信号都是非平稳的,但是,平稳信号的分析要容易得多,而且在电子系统中,如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变,或变化极小,可以忽略,则此信号可以认为是平稳的.如接收机的噪声电压信号,刚开机时由于元器件上温度的变化,使得噪声电压在开始时有一段暂态过程,经过一段时间后,温度变

2、化趋于稳定,这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。3一平稳随机过程1严平稳随机过程(StrictlyStationaryProcess)(1)定义如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严（格）平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程。实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间平稳就行了。4(2)特性一阶平稳(n=1)严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关时，对于一维概率密度有：5随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的都与时间t

3、无关6二阶平稳(n=2)严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点无关。时，二维概率密度：从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳7都与时间无关随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是平稳的。若，则89(3)严平稳随机过程的判断按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：1)若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则与时间t无关。2)若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0，X(t

4、0)具有相同的统计特性。10实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过程概率密度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只在相关理论范围内考虑平稳过程问题。相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上相当有效的描述了随机过程的重要特性。（1）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参数。（2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数学期望

5、和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。112宽(广义)平稳随机过程(WeaklyStationaryProcess)若随机过程X(t)满足则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严格平稳广义平稳一定不一定当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。12为什么要研究宽平稳随机过程?随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有信号都是非平稳的,但是,在自然界和实际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平稳信号分析要容易得多，理论成熟，是随机信号分析的基础。物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关在线性时不变系统中，输

6、入宽平稳，输出也宽平稳。13例随机相位信号是否平稳?解X(t)均值为“0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。14例设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-

7、过程而言，数学期望是常数，经中心化后为零，所以基本的数字特征实际上就是相关函数。相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息的工具。要求：(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳过程的自相关函数；(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。21性质1平均功率性质2偶函数证：同理22性质3极值性证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即对于平稳过程X(t)，性质1可知代入前式，可得于是同理当平稳过程的相关函数具有最大值。物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。23性

8、质4若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。周期平稳过