636数学分析考研真题答案08

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1、2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：636科目名称：数学分析一、（20分）解答以下三个小题：（1）用分析定义证明：如果，则.（13分）（2）如果，是否一定有？为什么？（3分）（3）计算极限.（4分）证：（1）∵，∴，：.……2分利用三角不等式，得……5分而（∵常数）……7分对上述的，，：.……9分.……11分取，则，当时，有.∴.……13分（2）不一定.……1分反例：数列，.有，但数列发散.……3分（3）∵……2分∴……4分第6页（共6页）二、（12分）如果函数在上可导，且，，试

2、证：在区间内存在唯一的，使得.证：由已知，在上可导.在上应用Lagrange中值定理，得，，……5分，……7分由零点存在定理，存在，使.……9分再证零点唯一，只要证函数在上单调，而由，即知在上严格单调减少，从而上述是唯一的.……12分三、（12分）求函数的不定积分.解：时，……3分时，……6分得出……8分……12分四、（10分）计算.解：……4分……5分第6页（共6页）……9分……10分五、（12分），试求（1）；（8分）（2）.（4分）解：（1）……3分……8分（2）……4分六、（10分）证明积分关于一致

3、收敛.证：∵，………4分而收敛，………8分由判别法，知积分对一致收敛.………10分七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分）(1)；(2)；(3).解:(1)由………3分知收敛；发散；………5分时收敛，发散.………7分第6页（共6页）（2）由，（或）………4分而收敛，知收敛.………7分（3）由,………4分发散，知发散.………7分八、（25分）设函数（1）计算函数的偏导数；（10分）（2）问函数点是否连续？是否可微？为什么？（8分）（3）问偏导函数在点是否连续？为什么？（7分）解:(1)……

4、3分=……8分对称地，……10分(2)在点可微，从而在点也连续……3分因为，，.第6页（共6页），.所以，……7分即.∴点可微.……8分（3）偏导函数在点不连续.……2分因为极限不存在：由不存在，即知（或由沿直线时极限不存在，即知）所以在点不连续.……6分同理，点也不连续.……7分九、（12分）计算曲线积分，其中是以点为中心，为半径的圆周（），取逆时针方向.解：，则，在不含原点的区域上积分与路径无关.……2分当时，由Green公式，得.……4分第6页（共6页）当时，取足够小的椭圆，使之含于内，取逆时针方向，

5、由Green公式：，……8分∴.……12分十、（16分）解答以下两个小题：（1）证明；（8分）（2）计算.（8分）证:（1）∵……3分令……5分而∴……8分（2）……2分……4分……6分.……8分第6页（共6页）