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时间:2019-08-28
《636数学分析考研真题答案08》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码:636科目名称:数学分析一、(20分)解答以下三个小题:(1)用分析定义证明:如果,则.(13分)(2)如果,是否一定有?为什么?(3分)(3)计算极限.(4分)证:(1)∵,∴,:.……2分利用三角不等式,得……5分而(∵常数)……7分对上述的,,:.……9分.……11分取,则,当时,有.∴.……13分(2)不一定.……1分反例:数列,.有,但数列发散.……3分(3)∵……2分∴……4分第6页(共6页)二、(12分)如果函数在上可导,且,,试
2、证:在区间内存在唯一的,使得.证:由已知,在上可导.在上应用Lagrange中值定理,得,,……5分,……7分由零点存在定理,存在,使.……9分再证零点唯一,只要证函数在上单调,而由,即知在上严格单调减少,从而上述是唯一的.……12分三、(12分)求函数的不定积分.解:时,……3分时,……6分得出……8分……12分四、(10分)计算.解:……4分……5分第6页(共6页)……9分……10分五、(12分),试求(1);(8分)(2).(4分)解:(1)……3分……8分(2)……4分六、(10分)证明积分关于一致
3、收敛.证:∵,………4分而收敛,………8分由判别法,知积分对一致收敛.………10分七、(21分)判断下列三个小题中级数的敛散性.(每小题7分)(1);(2);(3).解:(1)由………3分知收敛;发散;………5分时收敛,发散.………7分第6页(共6页)(2)由,(或)………4分而收敛,知收敛.………7分(3)由,………4分发散,知发散.………7分八、(25分)设函数(1)计算函数的偏导数;(10分)(2)问函数点是否连续?是否可微?为什么?(8分)(3)问偏导函数在点是否连续?为什么?(7分)解:(1)……
4、3分=……8分对称地,……10分(2)在点可微,从而在点也连续……3分因为,,.第6页(共6页),.所以,……7分即.∴点可微.……8分(3)偏导函数在点不连续.……2分因为极限不存在:由不存在,即知(或由沿直线时极限不存在,即知)所以在点不连续.……6分同理,点也不连续.……7分九、(12分)计算曲线积分,其中是以点为中心,为半径的圆周(),取逆时针方向.解:,则,在不含原点的区域上积分与路径无关.……2分当时,由Green公式,得.……4分第6页(共6页)当时,取足够小的椭圆,使之含于内,取逆时针方向,
5、由Green公式:,……8分∴.……12分十、(16分)解答以下两个小题:(1)证明;(8分)(2)计算.(8分)证:(1)∵……3分令……5分而∴……8分(2)……2分……4分……6分.……8分第6页(共6页)
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