chapter0数学补充知识

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1、力学主讲教师：刘树新北京大学物理学院第零章数学补充知识A行列式B矢量的代数运算C一元函数微积分D多元函数微积分1A行列式A.1行列式v211ixFxv1-2-1jyFyv-1-12kzFz2aaa111213三阶行列式可以一般地表述成aaa212223aaa313233元素：ai:行标;j:列标ij2阶、1阶、零阶行列式分别表述成aa1112a11aa21223行列式的运算规则可用下述递归方式定义：定义=1a=a=a111111aa1112=aa−aa11222112aa2122aaa111213aaaaaa22

2、2312131213aaa=a−a+a212223112131aaaaaa323332332223aaa3132334性质1：行列可互换性vvvvixFijkxvjyF=xyzyvkzFFFFzxyz5性质2：一行的公因子可以提出aaaaaa111213111213kakaka=kaaa212223212223aaaaaa3132333132336性质3：对换行列式中两行的位置，行列式反号。性质4：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。aaa111213kakaka=0111213aaa3132337A.2应用

3、⎧ax+ax+ax=b1111221331线性代数方程组⎪⎨a21x1+a22x2+a23x3=b2⎪ax+ax+ax=b⎩3113223333aaa111213引入分母行列式D=aaa212223aaa3132338引入分子行列式baa11213D=baa,D=L1222232baa33233方程组的解能表述为Dix=i=1,2,3iD9例1.公比0≤q＜1的无穷等比级数求和23S=a+aq+aq+aq+L()23=a+qa+aq+aq+aq+L=a+qSaS=1−q10例2.求无穷串并联系列的电阻RAB设AB

4、间的电阻为RAB1则有RAB=2R+11+RRAB11思考题1：取火柴游戏N根火柴，2人取，每人一次取1至a根，最后取者为负（a>1)对先取者，什么样的N是必胜态，什么样的N是必败态12思考题2：机器猫与玩具鼠鼠猫不动½½0123只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠的概率P=？13B矢量的代数运算B.1矢量的叠加与分解标量：只有大小，没有方向v既有大小，又有方向的量是矢量，记为A矢量的大小称为矢量的模，记为Avvvv单位方向矢量A=Aα或α=A/A14万有引力定律vFMmvrvMmvF=−Gr3r15矢量的代数性质

5、矢量与标量的关系数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量vvαA=B矢量之间的关系矢量的叠加:矢量的和标积和矢积：矢量的乘16两个矢量的和vvvvvACA+B=CvBvvvvvvA+A+A=(A+A)+A123123矢量的叠加满足交换律和结合律17z矢量的分解vAvzvx轴单位矢量ivvAy轴单位矢量jvkvvvjAyz轴单位矢量kyivvvvvA=Ai+Aj+AkxvAxyxyzAxv可简写为:A:{Ax,Ay,Az}或(Ax,Ay,Az)vvvvvvvvA+B=(Ai+Aj+Ak)+(Bi+Bj+Bk)xyzxyz

6、vvv=()A+Bi+()A+Bj+()A+Bkxxyyzz18k维空间vvvvK维空间矢量A=Ae+Ae+L+Ae1122kkkv=∑Aeiii=1k2矢量的模A=∑Aii=1kvvv矢量的和A+B=∑(Ai+Bi)eii=119思考题3：k维空间正方“体”顶点数棱数面数面积体积3维正方体81266a2a32维正方“体”4444aa21维正方“体”2122a20(1)从度量的角度分析，为什么数学上给出S=21(2)对k维空间正方“体”，用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数；若棱长为a，再求它的“体积”V和“

7、面积”Skk21B.2矢量的标积vBA//vvA⋅B≡ABcosφ规定0≤φ≤πφvAB//vv显然有A⋅B=AB=AB////vv矢量的模量A=A⋅A22矢量标积的一些基本性质vvvv(αA)⋅B=α(A⋅B)(α为标量)vvvvA⋅B=B⋅Avvvvvvv(A+A)⋅B=A⋅B+A⋅B1212vvvvvvvvvvvv(A+A)⋅(B+B)=A⋅B+A⋅B+A⋅B+A⋅B12121112212223三维空间单位矢量的标积满足vvvvvv正交性i⋅j=j⋅k=k⋅i=0wvvvvv归一性i⋅i=j⋅j=k⋅k=1

8、vvvvvvvvA⋅B=(Ai+Aj+Ak)⋅(Bi+Bj+Bk)xyzxyz=AB+AB+ABxxyyzzvv矢量的某一分量A=A⋅ix24k维空间vv⎧0若i≠j正交归一性ei⋅ej=δij=⎨⎩1若i=jvvkA⋅B=∑AiBii=125例题3重力功的计算bvvW=∑(mg)⋅Δlxy平面azbaPav=∑mgΔzΔlavmg=mg(z−z)bazb=mghbz26