资源描述：
《数学基础知识补充3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§5多元函数微积分一、偏微商（偏导数）1、多元函数——由多个独立自变量构成的函数y=y(x,x,x,L,x)数学补充三123k仅由自变量x的无穷小变化引起的函数增量1y(x+dx,x,x,L,x)−y(x,x,x,L,x)1123k123k称为函数对x的偏微分1Δy∂yy′=lim=函数对x的偏微商或偏导数x1Δx→011Δx∂x11类似可引入函数对其它自变量的偏导数例如：理想气体的状态方程2、多元函数的全微分pVk个自变量均有无穷小增量时引起的y增量T=νR∂y∂y∂ydy=dx+dx+L+dx1
2、2k∂x∂x∂x∂TV12kT对p求偏导数时将V处理为常量=∂pνR例如理想气体的状态方程T对V求偏导数时将p处理为常量∂T=ppVVp∂VνRT=dT=dp+dVνRνRνR即：多元函数对某一自变量求偏导数过程中，其他的自变量视为常数二、线积分、面积分和体积分1、线积分物理学中的物理量一般都是空间位置r的函数，经常将a到b的一段曲线分成一系列无穷短的线段，称为线元，记作dl需要沿着某一路径、在某一曲面上、在某一体积内积分，vLb所以引入多元函数的线积分、面积分和体积分。Φ(r)沿L的线积分dlbv
3、Φ(x,y,z)标量函数Φ(r)或Φ(x,y,z)∑Φ(x,y,z)dl=∫LΦ(x,y,z)dlavvv矢量函数A(r)或A(x,y,z)L是闭合曲线∫Φ(x,y,z)dlaLvvvvvvvv称为第一类曲线积分它可分解成A(r)=Ax(r)i+Ay(r)j+Az(r)kvvvvvLbv矢量A(r)∫A(x,y,z)⋅dldlLA(r)orA(x,y,z)vxxvvA(x,y,z)三个分量A(rv)orA(x,y,z)对闭合曲线∫A(x,y,z)⋅dlyyLvaA(r)orA(x,y,z)zz称为第
4、二类曲线积分1vvvv2、面积分nA(x,y,z)nA(x,y,z)面元矢量化在S面上的标积性面积分SdS外SdS外vvdSv=dSnv内∫∫A(x,y,z)⋅dS内S称为第二类曲面积分∑Φ(x,y,z)dS=∫Φ(x,y,z)dS标量和矢量在闭合曲面上的面积分，特别地写成SS∫∫Φ(x,y,z)dS积分是在曲面的二维空间中进行，是二重积分.Svv∫∫A(x,y,z)⋅dS∫∫Φ(x,y,z)dSSS称为第一类曲面积分例如流体的流量，电磁场的电通量和磁通量3、体积分例题求密度为球对称分布的球体质量体
5、元dV球体各处密度是位置的函数，球体质元为标量函数在V内的体积分dVdm=ρ(x,y,z)dV∫∫∫Φ(x,y,z)dV是三重积分Φ(rv)V球体质量为说明线积分、面积分和体积分m=∫∫∫ρ(x,y,z)dVVV若Φ(x,y,z)=1,相应的积分分别为其中dV=dxdydz（在直角坐标系中）曲线的长度、曲面的面积和空间区域的体积特殊情况：密度为球对称分布ρ(xyz)→ρ(r)dm=ρ(r)dVrr→r+dr:rdr+2dm=ρ(r)4πrdrR2m=∫dm=∫ρ(r)4πrdr0⎛r⎞假设ρ=ρ0⎜
6、1+⎟⎝R⎠R⎛r⎞273则有m=∫ρ0⎜1+⎟4πrdr=πRρ00⎝R⎠32
