高中数学自主招生基础知识补充

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1、大学自主招生数学知识补充三角函数1、半角公式・asin—=±2积化和差sinercos0=*[sin(Q+0)+sin(cr-0)].j1cossin'2cosacos/3=—[cos(a+0)+cos(a〃)]2sinsin0=-—[cos(cr+0)-cos(a-0)]2、和差化积1-coser_2-cos—=±21+cosa~~2atan—=±2V1+cosa1-cosa1-cosasincrsina1+cosain(3-—[sin(«+0)-sin(Q-0)]ac・Q+〃a—/3sina+sinp=2sincos22sina-sin0=

2、2cos"十"sin—~—22nca+[3oc—Bcos<7+cosp=2coscos22cosa-cosfi--2sin"十"sin卩3、万能公式.小2tanasin2a=；—1+tarTa三倍角公式cl-tarracos2a=1+tarra小2tanatan2a=1一tarrasin3cr=3sina-4sin3a=4sin(60-cr)sin«sin(60+q)cos3a=4cos'd-3cosa=4cos(60-cz)cosczcos(60+cztan3a=tan(60-er)tanatan(60+a)4、三角恒等式(换成余弦也成立

3、)sin0+sin(0+——)+sin(〃+——)=023sin2^+sin2(<9+—)+sin2(^+—)=-332Qrr4TT9sin4&+sin"(〃+——)+sir/(&+——)=—3385、正弦平方差公式sin2a-sin2[i-sin(a+0)sin(&-0)cos2a一cos2/3=cos(q+0)cos(«一0)6、三角形中的结论(注意前提条件)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot/4cot6+cot6cotC+cotCcotA=1ABCABCcot—+cot—+cot——=cot——cot—cot—2

4、22222ABBCCAAtan—tan—+tan—tan一+tan一tan—=1222222A=2B=>a2=b(b+c)Ab2+c2-a2na2+c2-h2厂b~+a2-c2cotA=cotB=cotC=454S4S7、某些特殊介的三角函数值除了课本中的以外，还冇一些sincostan15°V6-V2476+722-V3475°V6+V2V6—V22+V34418°a/5-172°V5-1二、数列1给递推式求通项公式(1)常见形式即一般求解方法①°曲=pj+q若p=l,则显然是以如为首项，q为公差的等差数列，(若pHl,则两边同时加上丄，变

5、为件「丄=P丄”一1I”一1丿显然是以切+丄为首项，p为公比的等比数列〃一1②Q”i=Pan+/O其中f(n)不是常数?!-]若p=l,则显然如=血+》/(0,心2/=1若pHl,则两边同时除以卢叫变形为器=*+也利用叠加法易得竺二鱼+£型，从而心=/严PnP/=iP'(2)不动点法典型例了：a71+1当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛屮解决递推式的基木方法。a-an+bc•+d令兀=ax+",即c兀2+(〃_-b=0,c・x+d令此方程的两个根为X

6、,x2,若X1=X2则有11=+Pan^~Xan~X其川k可以用待

7、定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若X]HX2则侑an^~X=an~X仇+1一兀2色一兀2其中k可以川待定系数法求解，然后再利川等比数列通项公式求解。(2)特征根法特征根法是专用來求线性递推式的好方法。先來了解特征方程的一般例子，通过这个來学会使用特征方程。①5+2“特征方程为x^px+q,令其两根为"，x2则其通项公式为=A-<+S(兀严勺)，A、B用待定系数法求得。或an=(4+nB)•xf(xt=x2)②£+3=以“+2+%”+l+S”特征方程为x3=px2+qx+r,令其三根为X],x2,x3则其通项公式为d”二A•斗

8、+B•坊+C•城，A、B、C用待定系数法求得。(3)数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。(4)联系三角函数三角函数是个很奇妙的东西，看看下而的例了看起來似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。三、不等式与最值1平均不等式调和平均值:i=l几何平均值：G”=算术平均值:n则有:Hn

9、.g/?'(i=l,2,...,n),则注：要求b为正数常用变形二：若①,big/?+(i=l,2,...,n),则注：要求爲，bi均为正数。当然，这