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1、曲线与方程【学习目标】1.了解曲线与方程的对应关系；2.进一步体会数形结合的基本思想；3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）【学习策略】借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的儿何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x（或y）的取值范围.【要点梳理？要点一、曲线与方程概念的理解-般地，在直角坐标系屮，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条
2、件的点的轨迹）上的点与一个二元方程/（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C上所有点的坐标都是方程/（%,刃=0的解；（2）以方程/（x,y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程/&』）=0叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程/&』）=0的曲线.要点诠释：（1）如果曲线C的方程为/（x,y）=O,那么点P（x0,y0）在曲线C上的充要条件为/（丘,％）=0；（2）曲线C可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而/（X,y）=0正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C：C={（
3、兀,y）
4、/（兀刃=0}.（3）曲线C也称为满足条件/Cx,y）=0的点的轨迹.定义小的条件⑴叫轨迹纯粹性，即不满足方程=0的解的点不在曲线C上；条件（2）叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C是否为满足方程/&』）=0的点的轨迹而言.（4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”.要点二、坐标法与解析几何解析儿何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究儿何问题的一门数学学科.解析儿何的两个基本问题：1•根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2
5、.通过方程，研究平面曲线的性质.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了儿何问题与代数问题可以互相转化,这就是解析儿何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究儿何图形的方法叫做坐标法，乂称解析法.定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(X,y)所满足的方程/(^,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地
6、来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点三、用直接法求曲线方程的步骤坐标法求曲线方程的一般步骤：①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).②写出动点P满足的几何条件.③把几何条件坐标化，得方程F(x,y)=O.④化方程F(x,y)二0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。⑤证明方程F(x,y)=0是曲线的方程。判断点是否在曲线上的方法把点的坐标代入曲线的方程：点P(xo，yo)在曲线C：f(x,y)=0上U>/Oo，%)=0点P(x(),y°)不在曲线C：f(x,y)=0上O/Oo
7、，%)工°・求两曲线f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点坐标方法联立f(x,y)=0与g(x,y)=0,方程组卩°'刃二。的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交[g(x,y)=o点的个数要点诠释：①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔
8、细审题,分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系，结合基本公式列岀等式，并进行化①化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解要点四、求轨迹方程的常用方法：求动点的轨迹方程既是平面解析儿何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下儿种(1)直接法；(2)间接法;(3)参数法.经典例题透析类型一：曲线与方程的概念例1・已知坐标满足方程/(兀,刃二0的点都在曲线C上，那么().(A)曲线C上点的坐标都满足方程/(x,y)=0(B)坐标不满足方
9、程/(x,y)=0的点都不在曲线C上(C)不在曲线C上的点，其坐标必不满足方程/(%,y)=0(D)不在曲线C上的点，其坐标有些满足方程/(x,y)=O,有些不满足方程/(x,y)=0.【解析】由曲线与方程的定义，(A)、(B)不一定正确，(C)命题是原命题的逆否命题，它们是等价命题，故选(C).【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象
