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1、竞赛试题选编之立体儿何一.选择题1.(2005年全国高中数学联赛)空间四点A、B、C、D满足IAB1=3,1BC=7,1CD1=11,1DA1=9,则ACBD的取值(A)A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个l.ABCD-A,B,CD,为正方体。任作平而&与对角线AC'垂垃，使得a与正方体的每个血都有公共点，记这样得到的截血多边形的面积为S,周长为/.则(B)A.S为定值，/不为定值B.S不为定值，/为定值C.S与/均为定值D.S与/均不为定值3.(2004年高中数学联赛)顶点为P的圆锥的轴截而是等腰育•角三角形，A
2、是底而圆周上的点,B是底面圆内的点,0为底面圆的圆心,佔丄O为B,OH丄PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的屮点，则当三棱锥O—HPC的体积最人时，OB的长是(D)2V6CD=*,直线AB与CDV52^5V6A.—B.—C.—D.3334.(2003年高屮数学联赛)在四面体ABCD屮，设AB=lf的距离为2,夹角为兰，则四而体ABCD的体积等于B3(A)些(B)l(C)l(D)g22335.(2001年金国高中数学联赛)命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方休中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中
3、，必存在到各面距离相筹的点；以上三个命题中止确的有B(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个6.若干个棱氏为2、3、5的反方体，依相同方向拼成棱K为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是B肯怎是3的倍数(A)64(B)66(C)68(D)707.如图1,已知正方体ABCD-AyByCyD}1点M、N分别在AB].BC]上&AM=BM那么，①人令丄MV；③MV〃平UMiBiCiDi；④MN与AC】异而.以上4个结论屮，不正确的结论的个数为(A)1(B)2(C)3(D)4&止方形纸片ABCD,沿对角线AC对折，使
4、D在血ABC外，这时DB与血MC所成的角-•定不等于D(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°9•已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则圆锥侧面积和底面面积之比为()(A)3：1(B)2：1(C)1：1(D)1：210.长方体ABCD-A]B]C]D
5、,AC]为体对角线.现以4为球心，AB.AD.ACX为半径作四个同心球，其体积依次为旳、5、内、S，则有C(A)V4V,+V2+V3(D)不能确定，与长方体的棱长有关11•若空间四点A,B,C.D满足AB=CD
6、=&AC=BD= ,AD=BC=3,则这样的三棱锥ABCD共有()个.(A)0(B)1(C)2(D)多于212.如图，已知正方体过顶点旳在空间作直线/,使/与直线AC和所成的角都等于60°.这样的直线/可以做B人(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条13恻锥的轴截面为等腰直/(JASAB,O为底面恻心，C为底面恻周上AB的三等分点，AC=2CB,则SA与OC的夹角为()A.45°B.60°V2C.arcos4AD.arccos414四而体ABCD的所有二而角均为锐角，相对的棱都两两相等，该四而体的六个二面角的平面角为a/
7、(/=b2,66)则工cosai=()CBA.lB.2C.4D•不是定值15设一个四面体的体积为匕，且它的各条棱的屮点构成一个凸多面体，其体积为-•则212(A)(D)不确定,(B)-(C)常数，但不等于丄和三22316•给定四棱锥S-ABCD,其中底而四边形不是平行四边形，川一个与四条侧棱都相交的平面截这个m棱锥，截得四边形AECD,记集合M=｛四边形A'B'C*D为平行四边形｝,则有A.M为空集B.M为无穷集合C.M为单元索集合D.M的元索个数不确定17.正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折，使D点在面ABC外，这时DB与
8、ABC所成的角一定不等于()A.30°B.45°C.60°D.90°18.长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2近，AD—JF7,则AC的取值范围是A.(Vi7-2^2,5)B.(3,V17+2^2)c.(3,5)D.(Vn-2V2,Vn+2V2)c19.一圆台的上底半径为lc加，下底半径为2c加，母线A3为4c加，现有一蚂蚁从下底面圜周的A点，绕圆台侧面（即要求与圜台的每条母线均相交）向上底面圆周的B点爬行的最短路线是（A）.（A）4巧+互⑻4巧+空（02巧+辺（D）2®竺3333二.填空题20.（2005年高屮数学联
9、赛）如图，四面体DABC的体积琨,口满足ZACB=45°,AD+BC+孕=3,则CD二.巧V221.（2004年高中数学联赛）如图、止方体ABCD-A^QD,中，二面角A-BD}-人的度数是.22.（2003年高中数学联赛）将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每
