251等比数列前n项和公式的推导与应用

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1、2.5等比数列的前舁项和2.5.1等比数列前"项和公式的推导与应用学情分析师生将共同分析探究等比数列的前农项和公式.公式的推导以教材屮的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别"，从而达到化简的冃的.教学重点1•等比数列前n项和公式的推导；2.等比数列前«项和公式的应用.教学难点等比数列前〃项和公式的推导.教具准备多媒体课件、投影胶片、投彩仪等三维目标一、知识与技能1•了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；2.探索并掌握等比数列前n项和公式；3•用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；4.体会公式推导过

2、程小的分类讨论和转化化归的思想.二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.三、情感态度与价值观1.通过生活屮有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；3•通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学过程导入新课师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？生知道一些，踊跃发言.师“请在第一个格了里放上1颗麦粒，第二个格了里放

3、上2颗麦粒，第三个格了里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述耍求：这就是国际象棋发明者向国王捉出的要求.师假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？生各持己见.动笔，列式，计算.生能列出式子：麦粒的总数为1+2+22+...+263=?师这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.课件展示：1+2+22+...+263=?师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是i个等比数列.它的首项是1,公比是2,

4、求笫1个格子到笫64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.现在我们来思考一下这个式子的计算方法：记S=l+2+22+23+...+263,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.课件展示：S=l+2+22+23+...+263,®2S=2+22+23+...+263+264,(2)②■①得2S-S=264-1.Z64」这个数很人，超过了1.84x10®,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过T7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.师国王不假思

5、索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基木的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.推进新课［合作探究］师在对一般形式推导Z前，我们先思考一个特殊的简单情形：l+g+『+…+/=?师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比°就出现了什么样的结果呢？生q+『+...+g"+/汁".生每一项就成了它后面相邻的一项.师対上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记S“=l+$+『+...+/；那么qS“=g+『+.

6、..+q"+q,l+1.要想得到S“,只要将两式相减,就立即有(l・g)S“=l・q"・师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.生如果狞1,则有S=1一§师当然，我们还要考虑一下如果9=1问题是什么样的结果.生如果g=l,那么Sfl=n.师上面我们先思考了一个特姝的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：aI+。2+如+…+幺“=?［教师精讲］师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法二师在解决等比数列的一•般情形时，我们还可以使川“错位相减法

7、二如果记Sn=a1+0+03+…+。“，那么qS“=G1g+c/2姑如+…+如，要想得到S”只耍将两式相减，就立即有(g)S尸“a”师再次提醒学生注意q的取值.如果狞1,贝IJ有s〃=4_%/l—q师上述过程如果我们略加变化一下，述可以得到如下的过程：如果记3“=。

8、+。]姑。]『+...+幺旳"“，为

9、(么qS尸a1q+ci『+...+aiq'1+d]q",要想得到S“,只要将两式相减,就立即有(l・g0F切/如果胖1,则有s”/(T).I师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没冇什么差别，都是用的“错位相减法二形式上，前一个出现的