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1、三角函数、向量的综合问题【自主学习】第3讲三角函数、向量的综合问题（本讲对应学生用书第厂11页）自主学习回归教材1.（必修4P93习题3改编）设0为坐标原点,P6,“），P2&2,乃）为单位圆上的两71点，且ZP.0P2=4,贝吹血+卩处二.V2【答案】2一一一—【解析】•叫。们
2、°切•cosZPg二丁2.（必修5P11习题8改编）在AABC中，设氏二a,玉二b,石二c,且a•b-b•c-c•a,则△ABC的形状是.【答案】等边三角形【解析】因为a•b-b•c-c•a,所以a\b•cos(只-C)二b[c
3、cos(n
4、-A)=
5、a
6、c
7、cos(兀-B).由
8、bIcosC-b\ccosA,得
9、aIcosC二
10、c
11、cosA,由正弦定理，得sinAcosC=sinCeosA,即sin(A~C)=0.因为A,CE(0,n),所以A=C•同理B二C,故AABC是等边三角形.3.（必修4P93习题3改编）已知向量OAQBQC满足OA+OB+OC二（），且
12、0人
13、二
14、亦
15、二
16、況
17、二1,则AABC的形状是.【答案】等边三角形【解析】设OA,OB,OC的长为1,贝lj（丙+丙丫二（況尸，所以刃•OB=-2fOA-OB
18、^3,即
19、而
20、二的嗣理
21、荒
22、
23、二
24、況
25、二巧，所以AABC为等边三角形.1.（必修4P99第12题改编）在AABC中,若AB=5,AC=12,BC=13,则佔•BC【答案】-25_5_【解析】4〃•BC二一BA•BC=-accosB=-5X13X13=-25・2.（必修4P99第10题改编）已知a=29b=l9且d,〃和夹角是120°,则a+2b=.【答案】2【解析】因为a•6=lX2Xcos120°=-1,所以
26、a+2引二屉十2^二y/a2十4a•方十4方？二2【要点导学】要点导学各个击破向量的基本运算例1如图⑴，在矩形ABCD中，AB二
27、血，BC二2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若石•乔二血，则正•讦的值为（例Ml））【分析】求向量的数量积可用向量的数量积公式，在用公式不太方便时，常利用平面向量基本定理，选择两个特殊向量作为基底，把所求向量用基底表示出來,再用向量数量积公式进行运算•如果图形是特殊图形，可以考虑建立平面直角朋标系，利用向量的坐标进行运算.【答案】伍【解析】方法一：(坐标法)如图(2),以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，贝ijA(O,0),B(V2,0),E(V2,i),p(x,2).故AB=(a/2
28、,o),乔二(兀，2),AE=(V2,i),丽二(x•逅,2),所以廳•乔二(血，0)-(%,2)二血尸血，所以尸1,所以丽二(1-血，2),所以忑•BF=(V2,1)•(1-V2,2)=72-2+2=V2.方法二：设DF=xAB,则乔二(x_l)正亦•AF=Xb•(Xo+DF)=AB•(而+兀忌)二；JABf二2九又因为而.XF=V2,所以2x=V2,所以尸2,V2AB所以BF二3C+CF二BC+所以AE・BF二(AB+BE)•<72、BC+-―1AB2/]_AB
29、2+2—(41)一BC+-―1AB2/丄X2+2X4
30、=【点评】本题考查平面向量基本定理，向量的数量积公式，向量的坐标运算.向量数量积的计算通过利用平面向量的基本定理，转化为已知向量的数量积；对于特殊图形，通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出结果.变式（2015•苏州期末）如图，在ZiABC中，已知AB二4,AC=6,ZBAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上，且石二2丽，AC二3疋，F为DE的屮点，则丽•DE【答案】4【分析】一般含有图形的向量题的解题方法主要有：基底法，坐标法.本题已知AB=4,AC=6,ZBAC=60°,所以适合用基底法.另外设AB^A°方
31、向上的单位向量分别为a,方，可以简化计算.【解答】方法一：取CE的屮点G,连接BG,设BG的屮点为M,连接FM,则BM=DE,且FM丄BM,所以3F•BM=BM=BM2=DE2=22=4.方法二：以A为原点，而为尢轴止方向，建立平面直角坐标系，贝
32、JA(O,0),(3也B(4,0),C(3,3能)，从而D(2,0),E(l,能)，F^22J,所以丽二矽向量与三角函数3兀例2已知向量加二(1,1),向量兀与向量加的夹角为4,且m•n-~.(1)求向量〃；⑵若向量〃与旷(1,0)共线，向量p二，其中A,C为AABC的内角，且
33、A,B,C依次成等差数列，求B+p
34、的取值范围.【分析】(1)利用数量积坐标公式和方程思想求tlk的坐标.(2)利用三角形内角和为兀与三角公式将
35、兀+川转化为求一个角的三角函数的范围问题.【解答】(1)设死二(兀，y),由m•«=-1,得兀+)尸T.①又因为向量比与加的夹角为4,所以?V=1.②或严rt
