北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-数字信号处理第四章附加习题

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1、第四章附加题1.请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设Slc=rad!so2.设计一个满足下列指标的模拟Butterworth低通滤波器,要求通带的截止频率fp=6kHz,,通带最大衰减Ap=3dB,,阻带截止频率X=12kHz,,阻带的最小衰减4=25dB,求出滤波器的系统函数。3.设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率fP=3kHz,通带衰减要不大于0.2dB,阻带截止频率fs=12kHz,阻带衰减不小于50dBo4.数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。在理想情况下，模—数变换器把模拟信号取样，产生序列x(n

2、)=xa(nT)，而数一模变换器乂将取样)心)变成限带波形Dsin(龙/T)(—M)(”)加)(,")整个系统等效于一个线性吋不变模拟系统。如果系统/?(〃)的截止频率是Tr/Srad/s,i/T=iOkHz,等效模拟滤波器的截止频率是多少?"=一8模-数变换器心)、2(周期T)21/T=20kHz,重复(1)。h(n)数-模变换器儿⑴、(周期T)2y何〉5.一个线性吋不变因果系统由下列差分方程描述y(n)=x(n)-x(AZ-l)-0.5y(n-l)(1)系统函数H(Z),判断系统屈于FIR和11R屮的哪一类以及它的滤波特性。⑵若输入x©)=2

3、cos(0.5勿)+5(7?>0),求系统稳态输岀的最大幅值。5.设％(/)表示一模拟滤波器的单位冲激响应,ha⑴二^•9/,r>00,r<0用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器(/2(町表示单位取样响应，即h(n)=Tha(nT)确定系统函数H(z),并把T作为参数,T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。6.用冲激响应不变法将以下虬($)变换为廿⑵，抽样周期为To(1)ffa(s)=(s+a)/[(s+a)2+b2｝。(2)比(£)=&/(£-s°尸，n为任意正整数。7.用冲激响应不变法

4、设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为滤波器的技术指标为0

5、在0.75龙处的衰减至少为15dBo5.设计一个数字滤波器,要求3dB截止频率为0.2兀,频率在0.5龙到龙之间的阻带衰减至少为15dB,系统取样频率为500Hz,用双线性变换法设计满足指标的最低阶巴特沃思滤波器的传递函数，并用止准型结构实现。6.设计一个数字低通滤波器，要求其截止频率fc=50Hz,在fc处的衰减为ac=3dBo系统的取样频率为500Hz,要求从二阶Bauterworth模拟低通滤波器中用双线性变换法导出数字滤波器的H(z)o7.冲激响应不变法和双线性变换法是两种滤波器设计方法。这两种方法将s左半平面的极点映射到z平面单位圆内部

6、，从而保持模拟滤波器的稳定性。如果一个模拟滤波器的所有极点和零点都在s、左半平面内，那么这个滤波器具有最小相位。(1)确定冲激响应不变法是否可以将最小相位模拟滤波器映射为最小相位离散时间系统。(2)对于双线性变换法重复(Do8.阶数NA2时，连续时间滤波器H's)的系统函数可以用两个低阶系统的级联来表示/($)=%(讥⑴所以，一个数字滤波器可以通过将变换直接应用到Ha(s)来设计，也可以通过分别将/(、)、Ha2(5)变换为H(z)、H2(z)来设计，然后以级联方式实现H(z)=H1(z)W2(z)(1)如果厲(Z)、比(z)用冲激响应不变法由H

7、a(5)>H(h(5)设计,与用冲激响应不变法出Ha(5)直接设让的滤波器H(z),式H(z)=M(z)H2(z)是否成立。(1)对双线性变换法重复(Do5.假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知=2+1,数字5=2-1滤波器H(z)的通带屮心位于下面哪种情况？并说明原因。(1)69=0(低通)。(1)3=兀(高通)。(2)除0或龙以外的某一频率(带通)。6.设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率叫=0.8兀说，通带衰减不大T3dB,阻带截止频率似=0.5兀rad，阻带衰减不小于18加，采样间隔为2几7.证明u=—z(旋转变

8、换)是一个低通一高通的稳定变换。8.把模拟低通滤波器传递函数中的s用1/s代替，就得到模拟高通滤波器。即若G“($)是低通滤波器的传递函