北邮数字信号处理第四章附加习题答案

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1、第四章附加题1.在冲激响应不变法中，数字滤波器的单位采样相应由对连续时间滤波器的冲激响应采样组成hnhnTas另一种方法是用阶跃响应不变法，数字滤波器的阶跃响应由对连续时间滤波器阶跃响应的采样组成。（1）利用连续时间滤波器原型，用阶跃响应不变法设计一个数字滤波器。saHsa22sab（2）确定设计出来的滤波器是否与用冲激响应不变法设计出来的相同。解：（1）如果连续时间滤波器的脉冲响应是ht，它的阶跃响应为atstaahd阶跃响应的拉普拉斯变换与系统函数Hs的关系为a1Ssaa

2、Hss这样1saSsa22ssab用阶跃响应不变法设计数字滤波器时，我们要先对Hs进行部分分式展开aAAA012Ssassajbsajb其中aajbajbA,,AA022122222ab22abab对st采样，即asnsnTas我们发现sn的z变换满足11sa1ezaTs1所以阶跃响应的z变换为1aajb11Sza2b21z12ab221ezajbTs1ajb1sa22bez

3、ajbTs11a11aacosbTbsinbTeaTsz1ssa2b2112cosz1a2bbTe21z2ezaTss2aTs数字滤波器的系统函数为1Hz1zSzaz11aacosbTbsinbTeaTsz1ssa2b2a2b212cosbTeaTssz1e2aTz2s（2）用冲激响应不变法，先对Hs作部分分式展开，asaAA12Hsa22sabsajbsajb其中1AA

4、122所以系统函数为1122Hz11eajbTssz11eajbTz1eaTscosbTz1s12cosbTeaTssz12e2aTzs虽然Hz的极点与用阶跃响应不变法设计的滤波器的极点相同，但系统函数不同，所以两种方法不等价。2.设ht表示一模拟滤波器的单位冲激响应，a0.9tet,0hta0,t0用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（hn表示单位取样响应，即hnhnT）。确定系统函数Hz，并把T作为参数，T为任

5、何值a时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。解：模拟滤波器系统函数为210.9tstHaseedt0s0.9Hsa的极点s10.9，数字滤波器系统函数应为11Hz11ezsT1e10.9z1THz的极点为0.9T0.9Tze，ze11j所以，T0时，z1，Hz满足稳定条件。对T1和T0.5，画出He1曲线如题6解图实线和虚线所示。题2解图由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越0.9T小，滤波特性越

6、好（即选择性越好）。反之，T越大，极点ze离单位圆越1远，附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。3.用冲激响应不变法将以下变换为,抽样周期为T。（1）。（2），n为任意正整数。分析（1）冲激响应不变法满足，T为抽样间隔。这种变换法必须让先用部分分式展开。（2）第（2）小题要使用拉普拉斯变换公式，3可求出又,则可递推求解。解（1）由推出由冲激响应不变法可得：T(ajbnT)(ajbnT)hn()ThnT()[ee]()una2nT11Hz()hnz()[

7、]aTjbTaT11jbTn0211eezeezaT11ezcos(bT)TaTaT12212ezcos(bT)ez（2）先引用拉氏变换的结论，可得：Aetst0n1ht()uk()a(n1)!k1dXz()按Z变换auk()，且kxk()z11azdz可得nn1n1kTn11sT0kATd1Hz()hkz()TAk(ze)(z)(sT01)kk01(n1)!(n1)!dz1ez可以递推求得AT,1n1ezST01Hz()AT

8、enST0z1,n2,3,...(1ezST01)n4.若ut()是模拟网络Hs()的阶跃响应，即输入xt()ut()，则响应yt()st()；sn()aaaaa是数字网络Hz()的阶跃响应，即输入xn()un()