运动稳定性与非线性振动作业（含答案）1

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1、Ch2单自由度保守系统自由振动仁确定下保守系统或耗散系统的奇点和它的类型，绘出相轨线并指出其分界线1)x-x+x3=02)x+x+x3=03)x+2/lix+x+兀‘=04)f+2“i+x-x‘=0解：各系统的相轨迹图如下所示：1)相轨迹线如图1。系统有三个奇点，其中，相点(-1,0)和(1,0)为中心，相点(0,0)为鞍点，通过鞍点(0,0)的相轨迹线为分界线。2)相轨迹线如图2。系统有一个奇点(0,0),其类型为中心。分界线1080.60.40.20-0.2-0.4-0.608-2-1.5-1-0.500.5

2、11.52-1图2或（图3p=0）3）当“=o时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为中心,相轨迹线如图3（和图2—样）；当“vo时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图4；当“>o时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图5。图4fj=-0.3图5p=0.34）当“0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图7。当“=o时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为中心，相轨迹

3、线如图8；5:■5IIIIIIIIII25・2-15-1-0.500.511.522.5图6p=-0.05图7尸0・6图8p=02、数学摆，摆长为/,摆锤质量为m,不计摩擦，其运动方程为O+

4、sinO=O,试求出势能函数0(9),并在相平面上画岀相轨线。解：将运动方程化为状态变量形式0=coga)=sin0其相轨迹微分方程为:驾二duco势能函数L/(0)=JoySin^^=y(l-COS^)o相轨迹线图见图9o3、如图，弹簧原长为/o,刚度系数为k,物体沿光滑水平面运动，当物体在平衡位置时，弹簧预张力为So,设

5、x(O)=Xo=1Omm,x0=0.1mm/s,/o=5Omm,So=1OkN,m=0.1kg,k=500N/mo列出运动微分方程，转化为无量纲形式，用相平面法作出物体的振动解。解：运动微分方程为：mx+2kyllp+x2-l0+^^2=0转化为无量纲形式：壬+(丁0.25+100〒+1.995x105)/丫==0'*0.0025+F0-2s内物体振动的相轨迹如图10o物体从相点(0.01,0.0001)出发，沿半径不断减小的近似圆轨迹逆时针运动，逐渐趋于相点(0,0)o^001-0005000050010015

6、图10相轨迹线图Ch3李亚普诺夫运动稳定性理论1、求如下微分方程的一组特解，并建立扰动方程J文I=_X[+X](xj+x；_1)[x2=x,+x2(x^+x；-1)角军：设兀[=rcos&,x2=rsin0,贝Ux{=rcos^-^rsin^,x2=/sin&+&厂cos&将以上各式代入微分方程，得到：rcos0-Orsin0=-rcos&+尸cosO^r2-1)rsin&+Orcos6-rcos&+rsin&(r2-Qr=r3+—r(sin2&-cos20-3)即(2Q=*(sin2&+cos2&+1)微分方程

7、的一组特解为:*(cos2&-sin2&+3),引入受扰运动与未扰运动的差值作为新变量,p-r-rs,(p=O-0sy则扰动方程为:p=p3+^-/?(sin2^-cos2^-3)0=l(sin20+cos2°+l)2、用V函效法确定下系统原点的稳定性

8、x=y+2y3b=-x-2x3解：选择正定的李雅普诺夫函数V(x,y)=x4+x2+/+y2dxdyV（x9y）=^-x+^-y=（4x3+2兀）（尹+2）丿）一（4尹’+2y）（x+2x‘）=0由于U沿解曲线的全导数为零，根据李雅普诺夫直接方法，系统的原点稳定O

9、3、判别如下方程组零解的稳定性x=x-y-z

10、2=0,1Z求得特征值为-2,10由于一次近似方程有一个特征值为正，根据李雅普诺夫一次近似理论，原方程的零解不稳定。5、根据李亚普诺夫第一方法和第二方法研究下系统奇点（0,0）的稳定性JX

11、=-3兀2[x2=3x{_5x；解：一次近似方程为＜卜二X

12、-3X2,其特征值的实部均为负，1x2=3X[-5x2根据李雅普诺夫一次近似理论，系统奇点（0,0）稳定。选择正定的李雅普诺