耦合的非线性振动子的周期运动和同宿运动.pdf

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1、第24卷第5期江苏大学学报（自然科学版）Vol.24No.52003年9月JournalofJiangsuUniversity（NaturalScienceedition）Sep.2003耦合的非线性振动子的周期运动和同宿运动于霞，卢殿臣，田立新（江苏大学非线性科学研究中心，江苏镇江212013）［摘要］在强迫激励作用下的耦合的非线性振动子的动力学行为是非常复杂的，而理论分析是非线性振动研究的最基本方式.Melnikov方法是研究系统混沌运动的解析方法之一，笔者正是利用Melnikov方法研究了具有Vanderpol阻尼的这类振动子周期运动、同宿运动和混沌运动，得

2、出这类振动系统产生次谐周期轨和Smale马蹄意义下的混沌的条件，并通过数值模拟说明了这类系统的混沌.［关键词］非线性振动子；同宿轨；周期轨；Melnikov方法［中图分类号］0322［文献标识码］A［文章编号］1671-7775（2003）05-0023-05对于强迫激励作用下的非线性动力系统的研'Z1=P1究具有很大的实际意义.笔者研究如下具有Van'P3E［-U（1-Z2）P1=Z1-Z1+11-derpol阻尼的弱耦合的非线性振动系统，即2］··BZ1Z2+YcosUtI'I（1-I2）+I32（2）1-I1+EU111+EBI1I2=EYcosUt'Z2=

3、P2··（1-I2）+I32I2-I2+EU'I222+EBI1I2=0'P3［-U（1-Z2）P2=Z2-Z2+E22-（1）2BZ1Z2］式中，U、、Y为正参数.B当E=0时，系统（2）为许多文献都对单自由度的这类系统进行了详细'Z'31=P1，P1=Z1-Z1的研究，文献［1］研究这类Vanderpol-duffing型强（3）'Z'3非线性振动子局部分叉全局分叉特性，文献［2］研2=P2，P2=Z2-Z2系统（3）是一个两自由度的哈密顿系统，且其究了强迫时这类非线性振动子同宿分叉次谐分叉特每个方程都具有以下特点：性.但对于二自由度的这类系统并没有研究.下面

4、（1）具有一个鞍点P0（0，0）和两个中心（1，利用Melnikov方法研究系统（1）的周期运动和同宿h（t），其参数方程为运动.首先，笔者详细地讨论了未扰系统的相空间.0）和过鞍点的两条同宿轨G（Zh（t），Ph（t））=（2secht，2sechttanht）再次，笔者利用文献［3］中的Melnikov函数研究了未扰系统周期轨附近的同宿运动及分叉情况.其（4）（2）存在同宿轨Gh（t）和鞍点P0（0，0）组成次，笔者推广了文献［3］中的次谐Melnikov函数，研究了未扰系统的不变环面附近的周期轨存在的条的同宿环P，且在P内部分别存在一族围绕中心件.最后，笔者

5、利用数值计算方法验证了系统（1）（1，0）和（-1，0）的周期闭轨，其参数方程为的混沌运动.（Za（t），Pa（t））=2t，［2d7（2a），!未扰系统的相空间2-a2-a22at，t，为了研究的方便，令'Ii=Zi，'Ii=Pi（i=1，2s7（2a）c7（2a）］2-a2-a2-a2）则系统（1）可写为aG（0，1）（5）［收稿日期］2003-03-27［基金项目］国家自然科学基金资助项目（10071033）；江苏省自然科学基金资助项目（BK2002003）［作者简介］于霞（1976-），女，山东聊城人，硕士生，主要从事非线性科学的研究.24江苏大学学报（自

6、然科学版）第24卷式中，S7，c7，d7均为Jacobi椭圆函数，a是椭圆模开应用留数定理得到数，周期T（a）=2K（a）2-a2，K（a）为第一类（T，T）=-4!M112O+2!YWsech（W）sinWT1+152椭圆积分.为了研究的方便，下面只考虑右半部分同宿轨（zh（t），ph（t））及相应的周期轨（za（t），4Bf（T1-T2）（7）+++其中a（t）），令O=Wtmod2!，则系统（2）可写为p+tf（t）=-2ecscht（cotht-1）［2t+3+'z1=p1tt3ecscht（tecscht-2t-1）］（8）'3E［-O（1-z2）pp1

7、=z1-z1+11-类似的有2Bz1z2+YcosO］4M2（T1，T2）=-O+4Bf（T2-T1）'z2=p2（6）15'3E［-O（1-z2）p由式（8）知道f（t）关于t是奇函数，而且fmax=p2=z1-z1+22-2］maxf（t）0，fmin=minf（t）=-fmax0，于是得Bz1z2'O=W到下面结果，当B1时方程O15fmax（z，p，z，p）R2211122>R>S4此处S1=R／2!是周长为2!的圆周.由系统（1）可-O+4Bf（T2-T1）=015知当E=0时系统（6）有一双曲周期轨Y0=｛（0，0，有两个根t=ta，tb；当Y42!时

8、，方cos