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1、类型五与特殊四边形有关的问题1.(2017重庆江北区一模)如图①，抛物线y=—务?+卑^1+2的图象与兀轴交于点A、B,与)•'轴交于点C,连接BC,过点A作AD//BC交抛物线的对称轴于点D.(1)求点D的坐标；(2)如图②，点P是抛物线在第一彖限内的一点，作P0丄BC于0,当PQ的长2度最大时，在线段BC上找一点M(不与点B、点C重合)，使PM+^BM的值最2小，求点M的坐标及PM+^BM的最小值;(3)抛物线的顶点为点E,平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A、E平移后的对应点分别为点/V、E.在平面内有一动点F,当以
2、点A、E、B、F为顶点的四边形为菱形时，求岀点A的坐标.第1题图1.如图①，抛物线—込2兀—迈与兀轴交于A,B两点(点A在点B的33左侧)，交y轴于点C.连接AC,过点A作AC的垂线交抛物线的对称轴于点D.(1)求点D的坐标；(2)点P为直线AD下方抛物线上一动点，当△用D面积最大时，作PE丄兀轴于点、E,连接AP,点M,N分别为线段AP,AE上的两个动点，求EM+MN的最小值;(1)如图②，抛物线的顶点为点0,平移抛物线，使抛物线的顶点Q在直线4Q上移动，点A,0平移后的对应点分别为点4,Q.在平面内有一动点G,当以点4,Q',B,G
3、为顶点的四边形为平行四边形时，在肓线AQ下方找一个满足条件的点G,与在直线AQ上方所有满足条件的点G为顶点的多边形为轴对称图形时，求点0的坐标.第2题图答案1.解：（1）当y=0时，一解得X1=V5,兀2=—平，即A（-尊0）,B心,0）当x=0时，y=2,即C（0,2）,・・・直线BC的解析式为y=—誓+2,・・・直线AD的解析式为—爭x—
4、，抛物线的对称轴为—先=芈，、圧4即D点坐标为（晋，-y）；⑵如解图①，作PF〃y轴交BC于点F,则厶PQFs'BOC,第1题解图①・PQ_B0_V5••PF_BC_3，设P(r,即PQ=—务2+
5、芈f+2),F(r,-半+2),当吋，PF取最大值，P0取最大值,此时PC芈，号），作MV丄兀轴于点N,则厶BMNs^BCO,.MN0C_2••BM=BC=r2即MN=[BM,25则当P,M,N共线时，/W有最小值，PM+^BM=PN=y此是M（芈，1）；（3）如解图②,1）当AE=4B,A'E'〃BFi，"Ef=BFX时四边形A!EFXB是菱形，此时A/（芈,
6、）2）当A'E'=EBArE'//BF2,A'Ef=BF2吋四边形A'E'FqB是菱形，此时A‘3（—芈，0）,A'4（—^^，3）当A'B=EBArF3//BEr,AfF3=
7、BEr时四边形A,F3E,B是菱形，此时A‘5(—22谄63综上所述，a'的坐标分别为（芈，壬）或（一总£，一為或（一爭，0）或（一笼名,第1题解图②-挣或（-呼-瓠2.解：（1）如解图①，设对称轴交于点H,对于抛物线誓—寸5,令x=0得）=—羽，令y=0,2—羽=0,解得%=—1或兀=3,・・・C(0,—苗，A(-l,0),3(3,0),：.OA=fOC=书,OCr・・ternZOAC=oa="/3,AZOAC=60°,VAD±AC,AZDAC=90%ZDAH=30°,・・•抛物线的对称轴尸一瞥T，2[j・・・AH=2,DH=A
8、Hum30°.5(1,爭)；(2)如解图②，延长PE交直线AD于点K,•••点A(—1,0),£)(1,卑舌，直线AD的解析式为歹=¥兀+¥・设点k(x,¥兀+¥),则点4兀，—卑学一羽).PK=-平/+羽卄:・SbPAD=SbPKA—S民pkd=£5xd一xa)PK=—3f+羽兀+3=_3(X_㊁F+25⑴12•・••当x=
9、■时，/PAD的面积最大，此时点P的坐标为(号，一斗■•・・PE丄兀轴于点E,・•・£(*,0),AAE=
10、,PE=響.5、万在Rl'PAE中，PA=^r，如解图②，作点E关于肓线AP的对称点E,过点E作EN丄
11、兀轴于点N,交4P于点M,第2题解图②连接EW,此时EM+MN的值最小，EM+MN=ErM+MN=EN.EE',由△ENEsMEP可知,EEZEzNAP=AE':.EfN=10^3:.EM+MN的最小值为埒2(3)如解图③，•・•点A(—1,0),(2(1,—・•.育线AQ的解析式为y=—卑'兀一设点Q'(x,一攀一爭，则点A'(x~2,一爭+羊).若以点4,Q,B,G为顶点的平行四边形以为边时，・・・/!'Q'〃BGi且AQ=BG],/•xG—xb=x?v—^Q9=^a—xq=—2.•-yG—ys—y^3•乂・・•点5(3,0),
12、・・・点Gi(l,华).同理得点G2(5,一斗')•・•・在直线A0上方满足条件的点G有两个，分别为Gi(l,斗3),62(5,咎舌・若以点4,Qf,B,G为顶点的平行四边形以40为对角线时，线段A0中点的
