与三角形有关的角的几个特殊类型

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1、与三角形有关的角的几个特殊类型三角形的内角和及外角对于求角度的问题可以说是必要的工具，但有时我们可以由这些来推导一些特殊的关系，利用这些关系就可以使一些问题的解决变得很简单.下面，我就来介绍一些特殊的应用.　　一、“塔形”　　如图所示的“”字形，我们可称其为“塔形”，其存在一个等式关系：∠1∠2=∠3∠4，∵由三角形内角和知，∠5∠1∠2=180°，∠5∠3∠4=180°，∴可知∠1∠2=∠3∠4.这种类型的应用在求有关角度时可以使解题过程更加便捷.　　例1：如图，已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的

2、点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：DE//BC.　　证明：因为∠1∠2=∠3∠4（证明过程如上），又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以可知∠1=∠3，所以DE//BC（同位角相等，两直线平行）.　　例2：图同上，已知，∠3=50°，∠4=60°，求∠BDE∠CED的度数.　　解：∠BDE与∠1互补，∠CED与∠2互补，∴∠BDE∠CED=（180°-∠1）（180°-∠2）=360°-（∠1∠2），∵∠1∠2=∠3∠4=110°，∴∠BDE∠CED=360°-110°=250°.　　二、“8”字形　　如下图所示

3、的“”字形，其也存在着一个等式关系：∠1∠2＝∠3∠4.∵由三角形内角和知，∠1∠2∠5＝180°，∠3∠4∠6=180°，又∵∠5=∠6（对顶角相等），∴∠1∠2＝∠3∠4.　　例3：如下图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=45°，则∠D的度数为（）　　（A）45°（B）55°　　（C）65°（D）35°　　解：∵∠A∠B=∠D∠C，∠B=∠C，∴∠D=∠A，即得结论.故选A.　　例4：如下图，△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D.若∠1=24°，则∠EAB等于（）　　（A）

4、66°（B）33°　　（C）24°（D）12°　　解：由8字形的特征可知，∠1∠D=∠CAE∠C，∵∠C=∠D，∴∠1=∠CAE.又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB，∴∠EAB=∠1=24°.故选C.　　说明：在以上两种类型中，都是利用“若两个三角形有一组内角相等（或为公共角），则这两个三角形的其余内角的和相等”，这是三角形内角和的一种推广和应用.　　除此之外，三角形外角也有着一些特殊的应用.　　三、“尖顶形”　　如图1所示，其也存在着如下等式：∠D=∠A∠B∠C，其证明过程如下：连接AD并延长到E，

5、∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE=∠B∠BAD，同理，∠CDE=∠C∠CAE，又∵∠BDC=∠BDE∠CDE=（∠B∠BAD）（∠C∠CAE）=∠A∠B∠C，结论得证.　　例5：（2008年吉林省吉林市中考）如图，点D、B、C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=度.　　解：由尖顶形特征可知，∠AED=∠A∠C∠D=135°，而∠1与∠AED互补，∴∠1=180°-∠AED=45°.　　例6：如下图，若P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，求∠BPC-∠A的值.　　解：在△A

6、BC中，有∠A∠B∠C=180°，　　所以∠A∠B∠C=90°，　　则∠A=90°-∠B-∠C.　　又因为BP，CP分别是∠B和∠C的角平分线，　　所以有∠B=∠ABP，∠C=∠ACP，　　所以∠A=90°-∠ABP-∠ACP.　　又可知∠BPC=∠ABP∠A∠ACP（证明过程如上），　　所以∠BPC-∠A=（∠ABP∠A∠ACP）-（90°-∠ABP-∠ACP）　　=2∠ABP2∠ACP∠A-90°=∠B∠C∠A-90°　　=180°-90°=90°.　　说明：在此题的解题中还用到了三角形内角和公式的一个变

7、形，∠A∠B∠C=90°，这在解决三角形有关角的问题时会有很大的帮助，希望同学们能学会使用.