数值分析11对称正定矩阵的收敛性

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1、边值问题数值解算例对称正定矩阵的收敛性超松驰迭代算法分块矩阵的块迭代《数值分析》11例1常微分方程边值问题在x1=0.1,x2=0.2,···,x9=0.9处的数值解解:令h=0.1,记yj=y(xj)(j=1,2,···,9),将代入微分方程,整理得–yj-1+(2–h2)yj–yj+1=xjh2(j=1,2,···,9)2/18yj=[xjh2+yj-1+yj+1]/(2–h2),(j=1,2,···,9)–yj-1+(2–h2)yj–yj+1=xjh2高斯-赛德尔迭代格式:3/18程序h=0.1;x=0:h:1;y=zeros(

2、size(x));r1=h*h;r=2-r1;er=1;k=0;whilee>0.0001er=0;forj=2:10s=(y(j-1)+y(j+1)+r1*x(j))/r;er=max(er,abs(s-y(j)));y(j)=s;endk=k+1end准确解:y(x)=sinx/sin1-x-----y(x)oyj4/18正方形区域上第一边值问题准确解:O1x1y5/18取正整数n,记对区域做网格剖分:xi=ih(i=0，1，……，n+1)yj=jh(j=0，1，……，n+1)在点(xi，yj)处记uij=u(xi,yj),五点差分

3、格式整理6/18边界条件:u0,j=0(j=1,···,n);un,j=(j=1,···,n);ui,0=0(i=1,···,n);ui,n=0(i=1,···,n)结点数n2102202402迭代次数91303978CPU时间(s)0.141.84324.6720误差0.00285.6995e-46.6671e-4高斯-赛德尔迭代法实验:7/18定理4.4方程组Ax=b中,若A是实对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭法收敛证明:由A=D–L–LTBG-S=(D–L)-1LT设λ为BG-S的任一特征值,x为其特征向量,则(D–L

4、)-1LTx=λxLTx=λ(D–L)xA正定,故p=xTDx>0,记xTLTx=a,则有xTLTx=λxT(D–L)xxTAx=xT(D–L–LT)x=p–a–a=p–2a>08/18所以,迭代矩阵BG-S的谱半径ρ(BG-S)<1,从而当方程组Ax=b的系数矩阵A是实对称正定矩阵时,Gauss-Seidel迭代法收敛称R=–lnρ(B)为迭代法的渐近收敛速度9/18(i=1,2,···,n;k=1,2,3,··········)超松驰(SOR)迭代法Gauss-Seidel迭代格式10/18定理4.8若A是对称正定矩阵,则当0<

5、ω<2时SOR迭代法解方程组Ax=b是收敛的定理4.9若A是严格对角占优矩阵,则当0<ω<1时SOR迭代法解方程组Ax=b是收敛的迭代矩阵11/18例4.3用SOR方法解方程组(ω=1.4)w=input('input:w:=');A=[2-10;-12-1;0-12];b=[1;0;1.8];x=[1;1;1];er=1;k=0;whileer>0.0005er=0;k=k+1;fori=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(

6、i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);endendkk=10x=1.19991.39991.5999ω=1.2,只需k=612/18块迭代法简介设A∈Rn×n,x∈Rn,b∈Rn将方程组Ax=b中系数矩阵A分块其中,Aii∈Rni×ni,Aij∈Rni×nj,xi∈Rni,bi∈Rni13/18将A分解,A=DB–LB–UBJacobi块迭代DBX(k+1)=(LB+UB)X(k)+bi=1,2,···,r(2)Gauss-Seidel块迭代DBX(k+1)=LBX(k+1)+UBX(k)+bi=1,2,···,r14

7、/18块迭代求解X1=[x1x2x3]TX2=[x4x5x6]Tb1=[050]Tb2=[6–26]TDX1–X2=b1–X1+DX2=b2DX1(k+1)=b1+X2(k)DX2(k+1)=b2+X1(k)15/18(i,j=1,···,n)边值问题:(i,j=1,···,n;k=1,2,3,······）保留三对角块16/18取正整数n,h=1/(n+1)离散点xi=ihyj=jhzm=mh(i,j,m=0,1,···,n+1)用七点差分格式计算求解，用slice命令绘四维图17/18高斯-赛德尔迭代法18/18