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1、145期..第卷第雁北师院学报Vol14No5`.1998年10月JOURNALOFYANBEITEAC冬IERSCOLLEGEOet1998①程序实现对称正定矩阵的求逆郭显娥(雁北师院数学来大同037000),,.摘n给出了它的基本算法要该文对阶实对称正定矩阵求逆并编制了实现该算法的两个模块程序关键词模块过程分类号TP3121基本算法nxn,设A为对称正定矩阵则关系式、了、了f人O乙、ùJ,y~Ax1,.,:确定了R上的一个映象如果能求出逆关系x一By则得到A一’.:A的逆矩阵B一现将(1)式详细写出如下叱1rlo
2、t
3、allxzazZx:a一x.为苏ylù~十+…十1aZ:x,
4、a:Zx:aZ。x.二++…+(3)a,,x,a,。x:a朋~+十…十几,,,二1x;l,由于A正定必有al>o故可从(3)中第1个等式解出(称为交换和y的位置)、,:再将x得到新的关系式代入其他等式.Jteses.es、。二、ela`,,夕1a`,2x2a,;xe!为头.=++…+二Z,22x2:.矿ly+丫十…+丫声(4)a`.1少la`.:xza`,,~++…+几这里,:新系数的计算公式如下夕尸口.rf`了、l,,a、Jl
5、e一1/,、
6、a,ja:ja,;,,,,。~一/(j~23…)(5)`:a`,a、:,,,1:~/(i一23…).,,`za`za`;a,,a,:2,3,
7、n~一/(ij~…)用同样的方法交换x:和y:的位置.如此继续,最后可得x~By,B就是所求的A之逆.A一1,.,,“但是若按这个计算格式编写程序则程序冗长为此下面模块的设计采用变量循环重:①收稿日期1998一04一12稚北师院学报.,”,x,y;新编号法使每一步的交换都在和的位置上进行于是类似于(5)的计算公式适用于每,:一个计算步骤其计算公式如下a,,=a:,l/a`二z一:a:za;:,,,。-一/(j=23…)(6),,,,,a一;a`;a,13,:“一/(i~2…)一..,,a,,一:a。a、;a;,al;,3,n{“二一/(ij二2…),事实上对(4)稍作改写可得a`:
8、Zx:+a`23x3++a`2。x,:+a,21少la`3:xZ+a`a3x:+a,3。x二a,3:,1+{+(7)a’。Zx:a’。3x3a’。.x,十++十口,ly-a`12x:a’,3x3a`l·x。a,+十++1lyz,:显然若对(7)式中变量按如下规则作一次重新编号X山,`下山e`1XX…x一毛告X1lZiXy`ó砚.x卜…x一x一。。,y2y泛二y一ly今今告告令,’yly`一1二yZyly…一一,.则得到对于每一步均适用的变换公式(6)其中变量的顺序经n次变换后恢复原状对计算公式(6)还可作进一步的简化.假设按上述格式已经计算了前k步,得到的系数矩:阵分块如下通.广l
9、.lesesesl.-JAA之;刀一是行:;Ak行。一k列k列:,I,Z:;Z,则可证明(l)对于任何kA和A都正定(2)A~一A.zT:由此可知,a`,,;(l)由第k步到第k+1步的计算总是可行的即必有>o,(2)每一步只需计算下三角元素(包括主对角线元素)即可且在计算第k十1步时可利用:关系式、oltùJrj簇n一ka`(8)J一n一ajij>一k,,,n,n,,最后要指出的是在本程序的设计中采用了倒序计算步骤即其顺序为k~一1….1k(8)中的n一.k所以要用代替2模块程序,:,利用上面所给算法编制了两个模块模块I为过程GJI矩阵A的元素按二维数组方式存放:模块I为过程GJ
10、Z,矩阵A的元素按一维数组方式存放.过程及其说明如下:I模块GJI第期亦足峨程序实现对称正定矩阵的水逆)形式参数说明AnA方阵的阶数,,,.数组A〔二二l二司开始存放A的元素最终存放A一`的元素(2)过程,n;PROCEDUREGJI(A)VAR,,:;,:;ijkINTEGERpgREAL:n;hARRAY【1二」OFREAL{用了y尸E定义}BEGIN:nFORk一DOWNTO1DOBEGIN:,;P一A〔1lj“”;,IFP<~0THENWRITELN(ERROR!){非正定矩阵错误}:nFORi=2TODOBEGIN:,;g=A〔il]::IFi>kTHENh[i〕~,/P
11、ELSEh[ij-一g/P:FORj一2TO1DO,:,’A〔i一1j一l〕~A〔jj〕+gh[j〕;END:nFORK=2TODOn,i一l:iA〔〕~h[]END;ENDl模块G了2(1)形式参数说明.n方阵A的阶数:,,一’A数组A【1武1+)n/2〕开始存放A的下三角形部分的元素最终存放A的下三角形部分元素.(2)过程,:,;PROCEDUREGJZ(A)VAR,,,,:;,:;i11ijkmINTEGERP叮REALh:ARRAY1二n;〔〕OFREAL{用
