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1、§2.4二次函数与摹函数基础知识・自主学习知识回顾理淸教材I要点梳理1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一•般式：=ax1.判断下而结论是否正确(请在括号中打““”或“X”)4一l2⑴二次函数y=ax*23456+hx+c,x^[a,b]的最值一定是一.+bx+c(aH0).②顶点式：/U)=aCr—〃7)2+n(aH0).③零点式：ZU)=g(x—x丄)(x—X2)(gH0).⑵二次函数的图彖和性质解析式j{x)=ax1+bx+c(g>0)J{x)=ax1+bx+c(qvO)图象K定义域(—8,+OO)(—8,+O
2、O)值域4ac~b2、_4.，+°°丿(4ac—b2lI，4q单调性在XG(_8减；在XU、,2]上单调递2a+T上单在xW[—冷+町上单调递减在—胡上单调递增对称性函数的图象关于—守对称2.幕函数⑴定义：形如y=xa(a^R)的函数称为拆函数，其中X是自变量，。是常数.⑵幕函数的图彖比较(X)(X)(X)(X)(X)(X)()解析所以当因为p(3-q)(g+(3)幕函数的性质比较特征\数y=xy=x1y=xi定义域RRR[0,+°°){xlrGR且值域R[0,+1R[0,+8)MyWRJl心QI奇偶性奇函数隅函数奇函数非
3、奇非偶函数奇函数单调性xefo,+8)时，增；xe(一8,(J]时，减壇壇泻(()，+8)时，减：XG(一8,0)时，减夯实基础突破疑难解析由./(x)为偶函数可得加=0,・・・.心)=-“+3,・・J(x)在区间(-5,-3)上单调递增.4.己知函数尹=/一"+3在闭区间［0,m］上有最大值3,授小值2,则m的取值范围为答案［1,2］解析=x当g=—2时，求几丫)的最值；求实数。的取值范围，使”=/(兀)在区间［一4,6］上是单调函数；当a=l时，求y(kl)的单调区间.思维启迪对于⑴和⑵可根据对称轴与区间的关系直接求解，
4、对于(3),应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解(1)当a=-2时,fix)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于［-4,6］,・・・几工)在［-4,2］上单调递减，在［2,6］±单调递增，・・・/(x)的最小值是/2)=-1,又,/(-4)=35,/(6)=15,故.心)的最大值是35.(2)由于函数沧)的图象开口向上，对称轴是"所以要使沧)在［-4,6］上是单调函数,应有-aW-4或-即aW-6或a24.(3)当a=1时，Xx)=?+2x+3,./(kl)=x2+21x1+3,此时定义域
5、为xe［-6,6］,-2r+3的对称轴为x=1.当m<时，尹=.心)在［0,m］上为减函数.•"max=.A0)=3,ymin=伽)=/-2加+3=2.・••加=1,无解.当1SW2时，坯血=/(1)=12—2X1+3=2,加X=7(0)=3.当m>2时，尹唤=伽)=nf-2/w+3=3,tn=0或m=2,无解.4.若幕函数尹=(沪_3加+3)rj—2的图象不经过原点，则实数刃的值为答案1或2nr-3/w+3=1解析由］9c，解得加=1或2.W-m-2W0经检验刃=1或2都适合.题型分类・深度剖析呻0,6]xE[-6,0]
6、・Xlxl)的单调递增区间是(0,6］,单调递减区间是［-6,0］.思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；⑵二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.跟踪训练1⑴二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为一1,则它的解析式是答案y=*(X—2)2—1(2)若函数f(x)=2x2+mx一1在区间［一1,+s)上递增，则/-I)的取值范围
7、是_答案(一8,-3J解析・・•抛物线开口向上，对称轴为x八眷一才W一1，w^4.又/(一1)=1一加W-3,.•・/(一1)丘(一8,-3］.题型二二次函数的应用U例21已知函数/(X)=ax2+hx+(a,方UR),x^R.⑴若函数/(x)的最小值为/(-1)=0,求./W的解析式，并写出单调区间；(2)在⑴的条件T,fix)>x+k在区间［一3,—1］上恒成立，试求k的范围.思维启迪利用几丫)的最小值为.A-1)=0可列两个方程求出°、方；恒成立问题可以通过求函数最值解决.解(1)由题意有/(-1)=0-/>+1=0
8、,b且-^=-1,/.67=1,h=2.・・JW=y+"+1,单调减区间为(-oo,-訂，单调增区间为［-1，+8).(2W)>x+k在区间［-3,-1］上恒成立，转化为x2+x+>k在区间［-3,-1］上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x^［-3,-1］,则g(x)在［-3,-1］J
