傅里叶变换的性质及其揭示的时域和频域间的关系

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1、数字信号处理电器信息工程学院蔡超峰引言CFSCFTDFSDTFT正变换反变换时域频域连续周期非周期离散连续非周期非周期连续离散周期周期离散离散非周期周期连续DFT离散有限长离散有限长在介绍和讨论各种变换的性质时，将不局限于它们的数学表示，而是着重它们所体现的物理含义及应用，即把重点放在如下两个方面：每个变换的性质揭示的时域与频域之间的关系，即信号的频谱和LSI系统的频率响应与它们时域特性之间的关系及物理解释。利用变换性质导出新的变换和反变换的有效方法和技巧。常用的变换对，都可以由很少几个熟知的变换对，通过变换的性质方便地求得。引言第五章傅里叶变换（级数）的性质及其揭示

2、的时域和频域间的关系线性性质卷积性质时移和频移性质微分与差分性质、积分与累加性质对称性质尺度比例变换性质抽样和抽样定理能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理能量谱与功率谱1.线性性质以CFT为例：DTFT、CFS和DFS具有完全类似的性质。对于DFT，若长度为M1和M2的序列x1(n)和x2(n)的N点DFT（注意：N≥M1，N≥M2）分别为X1(k)和X2(k)，对于任意复常数α和β，则有1.线性性质习题：求正弦信号cos(Ω0t)和sin(Ω0t)的傅里叶变换。解答：利用欧拉公式，分别有cos(Ω0t)=(ejΩ0t+e-jΩ0t)/2和sin(Ω0t)=(ejΩ0t-

3、e-jΩ0t)/2j再利用傅里叶变换的线性性质，则有2.卷积性质卷积性质包括时域卷积性质和频域卷积性质。先考察时域卷积性质。以CFT为例：证明：令则y(t)的CFT为2.卷积性质上述性质表明，时域中两个函数的卷积，对应在频域上则是它们的傅里叶变换相乘。DTFT与此类似：2.卷积性质习题：试求下图所示的三角脉冲x(t)的频谱。解答：三角脉冲x(t)是矩形脉冲与本身卷积的结果，即而rτ(t)的傅里叶变换为直接利用时域卷积性质求得x(t)的频谱为-τ0tτx(t)12.卷积性质CFS和DFS的时域周期卷积性质：若有两个周期为T的周期信号与，和周期为N的周期序列与，与和与分别

4、是它们的CFS和DFS系数。则有2.卷积性质证明（以CFS为例）：令（周期卷积）则y(t)的CFS为2.卷积性质DFT的时域循环卷积性质：若有两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，如果选取N=max(N1,N2)，且假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N点DFT系数，则有其中y(n)称为x1(n)和x2(n)的N点循环卷积，它实际上就是对x1(n)和x2(n)周期延拓后求其周期卷积，然后对运算结果取主值区间内的N点序列。2.卷积性质习题：求序列x1(n)={1,2,2,1}和x2(n)={1,0,1,3,4,3,2,1}的循环卷

5、积。解答：0n8-80m8-80m0m8-88-82.卷积性质DFT的时域线性卷积性质：两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，它们的线性卷积仍为有限长序列，长度为N1+N2-1。如果在做N点域循环卷积时不是选取N=max(N1,N2)，而是选取N≥N1+N2-1，那么循环卷积就转化为线性卷积。换句话说，在N≥N1+N2-1的条件下，N点时域循环卷积的结果将等于x1(n)和x2(n)线性卷积的结果。因此，若有两个长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)，如果选取N≥N1+N2-1，且假设X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)

6、的N点DFT系数，则有2.卷积性质再考察频域卷积性质。以CFT为例：在时域中，一个信号和另外一个信号相乘，可以理解为用一个信号去调制另外一个信号的幅度，称为幅度调制，因此上面的频域卷积性质也成为傅里叶变换的调制性质。DTFT、CFS、DFS、DFT与此类似。习题：求函数x(t)=rτ(t)cos(Ω0t)的频谱。解答：利用欧拉关系，有根据频域卷积性质有2.卷积性质3.时移和频移性质时移性质。以CFT和DTFT为例：由此可见，信号在时域中延时t0或n0，仅导致它们的傅里叶变换分别乘以一个时移因子e-jΩt0或e-jωn0。CFS、DFS与此类似。DFT：其中y(n)称为

7、x(n)的循环移位，即x(n)以周期N进行周期延拓生成的周期序列右移n0后取其主值区间得到的N点序列。3.时移和频移性质傅里叶变换的时移性质可以看做是其时域卷积性质的一个特例。以CFT为例：3.时移和频移性质频移性质。以CFT和DTFT为例：由此可见，时间函数或序列在时域中分别被频率为Ω0和ω0的复正弦函数或序列加权，等效于它们的傅里叶变换在频域上分别右移Ω0和ω0。CFS、DFS与此类似。DFT：其中Y(k)称为X(k)的循环移位，即X(k)以周期N进行周期延拓生成的周期序列右移k0后取其主值区间得到的N点序列。3.时移和频移性质傅里叶变换的频移性