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《2018年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数1，八z在复平面上对应的三点共线，且z=5,贝二.2.设〃是正整数，且满足/15=438427732293,则斤=.3.函数f（x）=
2、sin（2x）+sin（3x）+sin（4x）的最小正周期二.4.设点P,Q分别在函数y=2V和y=log2兀的图象上，则
3、PQ
4、的最小值二.5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，英样本方差川51的概率二.6.在边长为1的正方体ABCD_ABCU内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC；相切，则小球半径的最大值二•7
5、.设H是AABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0,KOcosZAHB=.8.把1,2,,斤2按照顺时针螺旋方式排成农行农列的表格7；,第一行是1,2,例如：_123_可=894.设2018在Go的第i行第丿•列，则（/,；）=•765第II卷（共86分）二、解答题（本大题共4小题，共86分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）9.如图所示，设ABCD是矩形，点E,F分别是线段ADfBC的中点，点G在线段EF上,点D,H关于线段AG的垂直平分线/对称.求证：ZHAB=3ZGAB・10.设0是坐标原点，双曲线C:~—・=1上
6、动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B0h~两点.（1）求证：AOB的面积S是定值；(2)求AAOB的外心P的轨迹方程.11.(1)求证：对于任意实数兀，y,z都有x2+2y2+3z2>/3(Ay+yz+zx).(2)是否存在实数k>羽,使得对于任意实数兀，y,z下式恒成立？x2+2y2+3z2>k(xy+yz+zr)试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点Z间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.试卷答案一、填空题1.4—3?•或一3+4i2.2133.17T4.1+
7、吩2)血In215.—15化4—乔6.57•卫6&(34,95)二、解答题9.解：由E,F分别是AD,BC的中点，得EFIIAB丄AD.设P是E关于/的对称点，则EP//AG丄/,故四边形AEPG是等腰梯形.进而ZPAG=ZEGA=ZGAB,ZAPG=ZGEA,从而AP丄HG・再由HP=DE=EA=PG,得ZHAP="AG=ZGAB.因此ZHAH3ZG4B.与渐近线方程联立，得A（xp^）'〃（兀，〉‘2）=、a-b兀（）y（）尢（）y（）从而，S=+卜』2-兀2歹1
8、=附
9、是定值.（a八（2）由（1）可设A（加,肋）,B—一,P
10、（x,y）,2为非零常数.AA）由
11、纠=PO=PB,得(兀=x2+/ax2、2+从而有ax+hy=—^a2+Z?2),ax-by=—^cr.22几上述两式相乘，得P的轨迹方程为a2x2-h2y2=*(/+戾『.11.解：(1)由均值不等式，一%2+—y2,—x2H—z?nV3xz,22*22故F+2尸+3z2內(心+yz+zx).(2)x2+2y2+3z2一k(与+yz+zx)(kk、20r•*)(k2八X——y-Z+2——r+3——z+12丿2丿<4丿L4丿(2丿yzk2>£2(QV(Q、(k2、(2上式no恒成立当
12、且仅当2-—>0且--k<42-—3-—•4-化简得囲<2^2且f—6疋+24»0.显然，k=2>^3满足要求.12•设N是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，兀是以第/个顶点为端点的红色线段数目，则有2018M+N=C沐，Xxi(20l7-x.)=2M,i=l当且仅当每个兀=1008或1009时，N取得最小值騒-10092x1008=2C®•N=2C爲是可以取到的，例如把线段i^i±jmod2018(l
