2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷

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1、2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷2013年9月14日上午9：:0——11:30一.填空题（每题8分，共64分）1.函数二卜+1

2、+卜一1

3、+丁4-兀$的值域是.2.方程sin（2013空）=兀20口的实数根的个数为.3.化简sin12°sin48°sin54°=（用数字作答）•4.设数列｛匕｝满足q=色=1，an=-aH_2（n>3）,则吆口=・2,5.设ABC的外接圆圆心P满足AP=-（AB+AC）,贝!JcosABAC二・6.设复数z=x^yi满足也的实部与虚部之比为徭，其屮,是虚数单位，x^yeR，则丄的z+2x最大值为./3001007.设（l+x+/）二，其屮

4、务卬…心。是常数，则工q&二・k=0k=08.随机选取正11边形的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为.—.解答题（第9・10每题21分，第11・12题每题22分，共86分）9.设正三棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,求其体积和内切球半径.10.求所有函数f:R—R,使得对任意都有/（x+y）=/（兀）+/（刃+2卩且丄丄X2-3)."an-2(1)求数列｛色｝的通项公式；(2)求证

5、：对任意的正整数4参考答案49⑦⑧一、填空题(每题8分，共64分)二、解答题(第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分)(——5分),故其体积〜晋/,=誓(—10分)。另-方面，易求得棱锥的表面积S弓+3乎(一】6分),从而其内切球半径心辛二缶(7分).10.解：设g(x)=/(x)-x2,则对任意都有g(x+y)=g(x)+g(y)_a

6、g(x)

7、<

8、x

9、7(—8分o由上述关系式，对任意X和正整数力，丽昨半(一6分。nVn令n趋于无穷得,g(x)=0.从而f(x)=x2(■-.21分。11•解：由a2+h2>2abyh2^c2>-2hc得:a2+2b2+3c2>2(

10、ab-bc-¥c2).从而F=ah-bc^c2a2+2b2+3c2等号成立当且仅当a:6:c=l:l:-l・(■—…8分)・为求F的最小值，固定常数0vav2,0>3.则由基本不等式-(a2+2b2+3，)=-(02+ab‘+(2-+0c?)+(0-3)c?<14ctab一2&2_a)0bc+(0-3)c2当且仅当«=/>=-<#o时.F取到辰大值*・下求F的最小值.显然尸取量小值时.ab-bc"<0.设常数05<20》3,则由基本不等式知-（«2+2於43?）=-（宀卅+Q_a）^+刖）.（“3）

11、/（2-a）6=Bc・令2/i=2/(2・a)"("3)・化简•得目'-5「5仔+9=(0-1)(「4"9)=0.由尸>3,解得0・2*U・于是12ub■be+1『令2X+3f当且仅当"c-2+/jj：-I时#取到晟小值-丄罟1.等号成立当」L仅岂4=->fahj2-ccb=j0c。令2巫=2j(2")“=0-3.化简得0‘-5矿-5/?+9=(0・lX0‘-4/7-9)=0.由0>3.求得0=2+Jf!于是F=fb-吟兰(•…20分)0+2bh3c‘“・312等砖成立当」［仅当。”：c=2十J1J:-'+严:-l.故F的取值范用是■_VT5+1，丄］(•…22分e12212

12、.解'(1)由<两側减得=初;+♦I*2)=(dT.2+

13、-2—6分).令九,=讥-+・存扒

14、=6/?,—/?厂］・解得bn=^z1-1+r./7"・ft-1)1兀・“=3±2厲是力程FI的两棋.so是命故.由仿=b：=〒・谄得q=c：=丄.I月巴0｝的迪【丈公式为■■4—（3+2、叶葺-2向"5｛„„

15、2分>⑵応7空）二;卩记回二屋》C需3宀今•姐整数J…17分:/>20同理,存二（迈和严1+严“严Xc^l2'也足燃故22分.2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷2013年9月14日上午9：:0——11:30二.填空题（每

16、题8分，共64分）1函数/（x）=

17、x+1

18、+

19、x-1

20、+a/4-x2的值域是・Z方程sin（2013^x）=x2（,13的实数根的个数为・丈化简sin12°sin4&sin54二（用数字作答）・4.设数列｛色｝满足q=a2=1,an=73^,,-an_2（n>3）,则吆口=・n5.设MfiC的外接圆圆心P满足AP=-（AB+AC）,贝UcosABAC=｛答案?*・｛解lliQnc中点为M,贝I屈+疋=2扁，从而#二寺前，故.4、P、D三点共线仏ABC为等腰三角形•设