直线和圆位置关系教学课例(样本)

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1、自主探究、合作交流“直线与圆的位置关系”教学课例仁教学实录老师：现在我先给每位同学封个官（学生一脸惊讶）——“船长”，可不是个“傀儡船长”哟，待会儿是要你下命令的（学生一脸好奇，充满着期待）。请看屏幕（多媒体展示）：一艘轮船在沿直线返回港口的过程中，接到气彖台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，为了使轮船不会受到台风的影响，这艘轮船是否需要改变航线？（学生情绪一下子高涨起来，个个瞪大了眼睛，有磨拳擦掌之势）老师：别着急，请各位“船长”先探讨一下：这个问题可归结为什么数学模型來

2、解决？（独立思考后，各小组迅速展开讨论，很快，有了结果）3组：只要判断航线所在直线与圆形区域所在圆有无公共点就可以了！若有，轮船则需要改变航线，否则，不需要。老师：非常好！那么我们如何來判断直线与圆有无公共点呢？本节课我们就來探究这个问题。（板书课题-§4.2.1直线与圆的位置关系）老师：请同学们想一想，初屮平面儿何屮，直线与圆的位置关系有哪儿种？众学生：相交、相切、相离。（老师板书：1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离）老师：在初中，我们怎样判断？学生1：利用弦心距d与半径尸的大小关系来判断。学生2：若d

3、>厂，直线与圆相离。老师：很好！那么我们如何用现在的知识来判断直线与圆的位置关系呢？请大家看屏幕（多媒体展示），为节省时间，1、4、7、10组解1题，2、5、8组解2题，3、6、9组解3题，看哪一组最先算出正确结果，并写在黑板上。（学生一脸迷惑，但还是立即投入计算）3x+y-4=0+2y-3=0y-3=0解方程组：1.?■?2.{?：3.9?+y+2y一4=0.[x+y+2y一4=0.[x"+y+2y一4=0.（很快有三个小组（4、8、6）的学生代表板书出结果，并等待其他小组基本完成）3.无解。老师：同意这个结杲吗?众学生：同意！老师：请各小组探讨，这三个问

4、题有没有几何背景呢？（学生先是一惊，沉思片刻才回过神，思考后随即展开了热烈讨论，很快就有三个小组代表先后站起来）7组：直线A:3x+y-4=0与圆C:x2+/+2y-4=0有两个不同的公共点A（l,l）,3（2,—2）,直线人与圆C相交。2组：直线厶：兀+2），-3=0与圆C:/+），+2y—4=0有一个公共点M（l,1）,直线厶与圆C相切。9组：直线厶：兀+丿一3=0与圆C:%2+y2+2y-4=0没有公共点，直线厶与圆C相离。老师：太有才啦！看来同学们都是数形结合的高手啊！但大家有没有想一想，从中你发现什么没有？（学生语塞，陷入沉思，片刻学生开始争相发言

5、）学生3：方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点。学生4：方程组的实数解就是直线与圆的公共点的坐标。学生5：直线与圆的位置关系可以通过解由直线方程与圆的方程组成的方程组来判断。老师：对呀，这不正是我们今天要寻找的方法吗？众学生：“啊！”（学生又惊又喜，这吋他们才明白老师刚才让解方程组的意图）“老师，初中利用弦心距与半径的大小关系來判断直线与圆的位置关系的方法，现在还能不能用呀？”学生6突然站起來。真是一石激起千层浪，这时其他学生也马上回过神来，“是呀，是呀！”课堂一下子热闹起来，大家显示出对该问题的浓厚兴趣，这也正是我将要提出的问题，于是顺水推舟。老师：

6、同学们爱动脑筋，敢于联想，这很好！那就请大家共同探讨探讨这个问题吧！（这时候，我看到每一位同学都兴致勃勃地讨论起來，很快有了结果）7组：可以使用，只需根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离也就是弦心距，再将它与圆的半径比较就可以了！老师：同学们太厉害啦！这样我们利用直线的方程和圆的方程就有两种方法判断它们之I'可的位置关系7,这两种方法分别称为代数法和几何法（老师板书：2.直线与圆的位置关系的判断方法：（1）代数法；（2）几何法）。下面请大家再用几何法验证一下前面我们的判断！“两种方法完全一致！”不一会，很多同学几乎喊起來。老师：那么这两种方法谁优谁劣呢

7、？（经短桝的思考、议论后）学生7：几何法运算量要小些。学生8：代数法能把几何问题代数化。学生9：几何法更直观、更易理解。老师：大家说得都对，代数法和几何法体现了数形结合的思想，几何法确实比较简捷，但在判断直线和抛物线的位置关系时就无能为力了，而代数法更具有普遍意义。现在大家可以完成你做船长的职责了，可以使用计算器。（这时学生情绪更加高涨）“老师，轮船不必改变航线！”很快，众学生兴奋地喊起来。老师：哪位“船长”上来，说说你们的理由。学生10：先建立平面直角坐标系如图所示，求出航线所在直线的方程为4兀+7歹-280=0,圆形区域所在圆的方程为+y2=900,再求

8、出圆心到直线的距离约为34.7,大于半径30,直线与