2018届高三数学一模试卷

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一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.计算lim(l—)的结果是n—>con【答案】1【解析】lim(l—)=l-lim-=1-0=1n—nn—*oon故答案为12.己知集合A={l,2,m},B={3,4},若AAB={3},则实数m=【答案】3【解析】・・•集合A={l,2,m},B={3,4},且AAB={3}m=3故答案为33.已知cosO=―,则sin(9+-)=【答案】【解析】Tcos8=57C3sin(9+一)=cosO=——25故答案为4.若行列式f=o,贝ljx=【答案】6=ad-bc.【解析】试题分析:由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可.考点:行列式的定义.5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是(;;),贝Ox+y=【答案】6【解析】・・・一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是©V|)・・・由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ・fx=4••(y=2•'•x+y=6故答案为61.在(x丄)6的二项展开式中,常数项的值为X【答案】-160【解析】展开式的通项为人.+】=C^6~r(--)r=(-2)「C;xSX令6-2r=0,得r=32・••在(X・-)6的二项展开式中,常数项的值为(-2)乜=-160X故答案为-160点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项:可依据条件写出第1+1项,再由特定项的特点求dk值即可;(2)已知展开式的某项,求特定项的系数:可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.2.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是【答案】1【解析】试题分析:先后抛掷两次骰子,共有36个基本事件,其中点数之和为4的事件有(2,3),(2,2),(3,2)共3个,所以岀现向上的点数之和为4的概率是箱二吉・考点:组合问题、概率.3.数列{钉的前n项和为S“,若点(n,Sn)(nGN*)在函数y=log2(x+l)的反函数的图像上,则【答案】an=2n_,【解析】解:因为y=log2(x+1)・•・n=log2(Sn+1)・•・Sn+1=2n・••sn=2n-l・•・an=2n_14.在AABC中,若sinA、sinB、smC成等比数列,则角B的最大值为 【答案巧【解析】丁在入ABC中,sinA、sinB>sinC依次成等比数列,sin2B=sinAsinC,则由正弦定理可得:b2=ac根据余弦定理得cosB='*2=/+c2-ac二2ac~ac=二当且仅当*=c时取等号2ac2ac2ac2兀冗・・・B的取值范围为(0-1,即角B的最大值为〔故答案为Z32的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹1.抛物线y2=-8x的焦点与双曲线冷-时a_角为【答案】23■x【解析】试题分析:因为抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),所以a2+]=22,a2=3.所以双曲线—y2=lW的渐近线方程为丫=土育,英夹角为彳考点:双曲线的渐近线考点:L&2.已知函数f(x)=cosx(sinx+&COSX)-—,xWR,设a>0,若函数g(x)=f(x+a)为奇函数,贝的值为■咏k兀兀,♦【答案】a=——(kGN)26/3【解析】*•*f(x)=cosx(sinx+筋cosx)・一2•sin2x筋(1+cos2x)羽兀f(x)=+———=sin(2x+-)2223T函数g(x)=f(x+a)为奇函数71兀/.g(x)=sin(2x+2a+-)为奇函数,贝lj2a+-=k?r(kGZ)Va>0k兀兀*.a=——(kGN)26故答案为a=——~(k^N*)26 12.已知点C、D是椭圆-+y2=l上的两个动点,且点M(0,2),若iD=kfc,则实数X的取值4范围为【答案】[亍3]【解析】①当直线斜率存在时,设过点M(0,2)的直线方程为y=kx+2,整理可得(1+4k2)x2+16kx+12=0,则△=(16kf—4x(l+4k2)x12>0.〈y=kx+2联立方程X?2|l7+y=1BPk2>-416k设C(xi,y)D(x2,y2),贝|JX1+x9=1+4L12VN1D=aMC(1+a)x2=16k口'(X2)-121+41?(1+a)216k91+41?=(Yx,即Al+4k264k2641=——x123(1+4k2)3丄+4.3・・•k->-4(1+a)2•>4<16<—A31•e.—o,解得t>O«Kt<-4.所以“tno”是“函数f(X)=X2+lX-t在(・8,+8)内存在零点”的充分而不必要条件.故选A.点睛:解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题,对于二次函数的研究一般从以儿个方而研允:一是,开口;二是,对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系;三是,判别式,决定于x轴的交点个数;四是,区间端点值.15.设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足AB•AC=0,AC•AD=0, AD-AB=O,用Si、S2>S3分别表示AABC.AACD、AABD的面积,则S1+S2+S3的最大值是()1A.-B.2C.4D.82【答案】B【解析】设AB=a,AC=b,AD=c9:AB・必=0,AC-AD=O,心・直=0AAB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,即a设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?11I2【答案】(1)y=x(l-3x),x6(0(2)x=—时,y=丄・36九涿12【解析】试题分析:(1)由题意设平行于墙的边长为a,则篱笆总长l=3x+a,表示11!面积y,由a>0,且l-3x>0,可得函数的定义域;(2)对其表达式进行配方,然后求出函数的最值即场地的面积最大值,从而求解.试题解析:(1)设平行于墙的边长为3,则篱笆总长1=3x+a,即a=1-3x,4-b2+c2=4R2=4•••S]、S2、S3分别表示AABC、AACD、AABD的面积.•.S]+S?+S3=+ac+be)<^(a2+b2+c2)=2,当且仅当a=b=(?时取等号・・・S]+S2+S3的最大值是2故选B点睛:本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题,能够把几何体扩展为长方体,推知多面体的外接球是同一个球,是解答本题的关键.一.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)13.如图所示,用总长为定值1的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.//〈///〈// 场地面枳y=x(l-3x),xE(0厂)]1求圆锥的体积;求异面直线SO与PA所成角的大小.(结杲用反三角函数值表示)【答案】(1)12兀.(2)arctan・4【解析】试题分析:(1)根据圆锥的侧面积求出BS=5,从而求出SO=4,由此能求出圆锥的体积;(2)取OE中点H,连结PH、AH,由P是SE的小点知PH〃SO,则乙APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角,由此能求出异面直线SO与PA所成角的大小.试题解析:(1)由题意,兀•OA・SB=15ti得BS=5,t^SO=JsB2-OB2=^52-32=4,从而体积V=-7C•OA2•SO=-7Ux32x4=12k.(2)如图,収OB屮点H,连结PH、AH.由P是SB的屮点知PH//SO,则乙APH(或其补角)就1(2)y=x(1.3x)=.3x-Mx=.3(x--)+-,xe(0-)・・・当且仅当X冷时,ymax=l2 综上,当场地垂直于墙的边长X为1时,最大面积为丄612 13.如图,已知圆锥的侧血积为15兀,底血半径OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母线BS的中是异面直线SO与PA所成角.由SO丄平面OABnPH丄平面OABPH丄AH.在AOAH中,由OA丄OB得AH=JoA?+O『=于;在RtAAPH中,如P=9。。,PH*B=2,AH=竽A则tan^APH=—PH4•••异而直线SO与PA所成角的大小arctan普1+X19・已知函数f(x)=In——的定义域为集合A,集合B=@a+1),11B匸A・l-x(1)求实数a的取值范围;(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.【答案】(1)[-1,0];(2)见解析.【解析】试题分析:(1)由对数的真数大于0,可得集合A,再由集合的包含关系,可得a的不等式组,解不等式即可得到所求范围;(2)求得f(x)的定义域,计算f(・x)与f(x)比佼,即可得 到所求结论.]+X试题解析:⑴令一>0,解得-10»丫1+丫2=加°•:X]+x2=myj+b+my2+b=4m"+2b,线段AB的屮点卜[(2m2+b,2m)•^CM=■1,10,得。0,yi+y2=4m,y》=・4b・_iyjy;/••OA•OB=XjX2+y=—•—+y]y2=b2-4b=0J得b=0或b=4b=0时,直线AB过原点,所以Q(0,0);b=4时,直线AB过定点P(4,0)设Q(x,y)VOQ丄AB,OQ•PQ=(x,y)•(x-4,y)=x?・4x+y2=0(x=0),综上,点Q的轨迹方程为X?・4x+y2=0点睛:本题主要考查直线与圆相切,求直线方程,分类讨论,轨迹方程的求法等,属于中档题•注意解决本类问题时,要使用直线和圆相切的性质,设直线时注意分类讨论,严防漏解,求轨迹方程时一般先设出动点坐标,再根据条件建立关于X,y的关系,化简即可求出轨迹方程.20.若数列A:a!,a2,---,an(n>3)GN*(12ak恒成立,则称数列A为“U-数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U-数列”,写出所有可能的x、y;(2)若“U-数列”A:坷,a2,•••,知中,ax=l,an=2017,求n的最大值;(3)设%为给定的偶数,对所有可能的“U-数列”A:%,a2,•••,a记 Mpaxb/2,其中max{xpx2,.-•,xs}表示x】,x2,•..,兀这s个数中最大的数,求M的最小值.【答案】⑴{二;,{yZj或{二:;⑵11的最大值为65;(3)n°-2n°+8.【解析】试题分析:(I)直接根据“U・数列”的定义,讨论列举法即可求出x,y;(II)ak+i+ak-i>2ak^ak+i・孤.]可得gn・l)(n-2)<2017-1,解得:-62三n^65,故nS65,另外,任意的2bk.p故数列{aj为“U・数列”,此时唏=1+0+1+2+•••+63=2017,gpn=65符合题意;(III)利用放缩法止仍%:+%+】+吶・1)「7+2工・2叱+8.即可得结论.试题解析::(I)農;,{㈡或{:(II)n的最大值为65,理由如下一方面,注意到:ak+1+ak-1>2ak^ak+1-ak>ak-ak-1对任意的1bk.x(2bk.!+1对任意的2i-1(20+14-2+另一方面,取bj=i・1(lbk.p故数列{aj为“U■数列”,此时蛰=1+0+1+2+•…+63=2017,gpn=65符合题意.综上,n的最大值为65.(Ill)M的最小值为竺兰二1证明如下:8当n0=2m(m>2,mGN*)时,一方面:由(★)式,bk+i・bk>1, bm+k・bk=(bm+k・bm+k・i)+(bm+k・l・bm+k・2)+•…+(bR+!-)>m.此时有:(al+a2m)・(%+%+1)=%+1+如+2+…+b2m-l)-(bl+b2+***+bm-1)=(bm+l-bl)+(bm+2-b2)+***+-1'bm-1)>m+m+•••+m=m(m-1)+ani+1+m(m-1)m2-m另一方面,当b]=l・m,b2=2・m,…,%」=-1,bm=0,bm+1=l,咯-宀.】时,张+1+张-1・耳=(补+1讥)・(膏歸-1)=0讥.1=1>0収%=1,则aI11+1=l,ai>a2>a3>--->am,am+1

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