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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第三章+空间向量与立体几何313+空间向量基本定理-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3・1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示［学习目标］1.了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示3掌握空间向量线性运算的坐标运算.戸知识梳理自主学习知识点一空间向量基本定理(1)定理如果三个向量引，e2,勺不共面，那么对空间任一向量P，存在惟一的有序实数组(x,y，z),使p=xe+yei~~zey(2)基底与基向量如果三个向量引，02,03不共面，那么空间的每一个向量都可由向量引，02,03线性表示.我们把W，e2,si称为空间的一个基底,6,€2,S叫做基向量.空间任何三个不共血的向量都可构成空间的一个基底
2、.(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向暈时,称这个基底为单位正交基底，通常用卩，j,可表示.⑷推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在惟一的有序实数组(x,%z),使得方=双方+y0B+z0C.知识点二空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz中,i,j,R分别为x,y,z轴方向上的单位向量,对于空间任意一个向量a,若有a=xi+yj+zkf贝U有序实数组(x,y,z)叫向量a在空间直角坐标系屮的坐标.特别地，若/(x,yfz),则向量
3、Q4的坐标为(x,y,z).知识点三坐标运算设4=(%,血，°3)，b=(b,b?，〃3)，贝Ha~~b=(a丄+b丄，他+念，勺+加)；a—b=(0丄——bya?—X，Q3—;La=(da1,2a?，2©)(aWR)•a〃b(aH())o虹=么幺丄,如=肋?9加=肋3(2GR).思考(1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同?（2）已知a=（Q],Ci2,。3），b=（b,h2i方3），a//b,且bb2b^0,类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？答案⑴空间向量的坐标运算多3个竖坐标.重点突破解析V0C=^a~^
4、b且a,〃不共线,戸题型探究・・・a,b,冼共面，・••荒与a,方不能构成一组空间基底.题型二用基底表示向量例2如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC,设鬲=d,OC=b,OP=c,E,F分别是PC和P3的中点，试用a,b,c表示斋,BE,AE,EF.解连结BO,则前=》>1f->1=2(50+OP)=q(c—b~a)—►—►―►1—►1―►—►BE=BC+CE=~a+^CP=-a+^CO+OP)―►—►—►—►—►1—►—►AE=AP+PE=AO+OP+尹O+OC)=—a+c+*(—c+Z>)=—aEF=^CB=^OA=*a.反思与
5、感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来麦示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.跟踪训练2如图所示，己知平行六面体ABCD-ABCXD,设乔=a,AD=b,AAx=c,P是G4
6、的中点，M是CD的中点.用基底｛a,b,c｝表示以下向量：⑴乔；(2)AM.解如图，在平行六面体4BCD—4BCD中连结/C,AD}f—►1—►—►{)AP=^AC+AA})AD+AA)=*(a+方+c).Ai6-►1—►—►(2)AM=
7、2(AC+ADl)1—►—>—►=^AB+2AD+AAi)=*a+〃+*c.题型三空间向量的坐标表示例3已知刊垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是如?、PC的中点，并且PA=AD=1,建立适当坐标系，求向量屁V的坐标.则M((),0),解以MD,4B,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底,在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.跟踪训练3已知刃垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是力3、PC的中点，并且PA=AD=f建立适当坐标系，求
8、向量仏V、范的坐标.解如图所示，因为PA=AD=AB=]t且丹丄平面ABCD,4D丄AB,所以可设DA=e,AB=e2lAP=ey以2i,e2,为基底建立空间直角坐标系A-xyz.—►―►―►—►―►—►1―►因为MN=MA+AP+PN=MA+AP+^PC—►―►1—►—►—►=MA+AP+^(PA+AD+DC)=—器2+勺+*—纟3—引+。2)=_*©+如3，所以加=(一*,o,R5c=(0,1,0).目当堂检测自查自纠1•已知力(2,3—“，一1+。)关于X轴的对称点是(2,7,—6),则久,的值分别为答案2,10,7解析・・・/与关于x轴对称，
9、7=2,=><”=10,卩=7・A=2,.•/3—7,、一1+。=6,2.与向量加=(0,1,
