圆知识拓展(二)

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1、圆知识拓展（二） 例3已知正五边形的对角线长为d，作正五边形．作法：作任意⊙O的内接正五边形．连结、．分别在、的延长线上截联结．过作交延长线于；过作交延长线于．则为所作正五边形（见图7－213（5））． 9．什么是拿破仑分圆作图问题？拿破仑不但是一位杰出的军事家，而且也酷爱数学．在统治法国之前，他一直忙于和当时伟大的数学家拉格朗日、拉普拉斯讨论数学问题．在他当上了法国统治者后，仍不忘讨论数学问题．有一次，他无意中读到了意大利学者马克尼罗写的关于只用直尺而不用圆规作圆的书，引起了他很大的兴趣．不久，他给法国数学家们出了一道

2、题：“只用圆规怎样把已知圆四等分？”这道题现在看来很简单，但在当时却使数学家们绞尽脑汁．最后他们得出这样的解法：半径在圆周上任取一点A．从A点开始，以已知圆的半径（假设为R）为半径依次在圆周上画弧，截出B、C、D三点．则AC为圆内接正三角形的边长，；AD是⊙O的直径．再分别以A、D两点为圆心，AC长为半径作弧交圆外一点P，则OP的长度正好是圆内接正方形的边长．这是因为在△AOP中，，恰为圆内接正方形的边长．然后只要以OP的长度依次在圆周上划分，就把已知圆周四等分了（见图7－214中E、F、G、H四点）． 10．怎样用圆规

3、“量”角？量角器上有表明度数的刻度，所以，角的大小可以用量角器来量．圆规上并没有表明度数的刻度，但只要进行适当的操作，也可以“量”出角的大小．例如，要用圆规“量”图7－215（1）所示角α的大小，先以角α的顶点O为圆心，任意长为半径画圆，交角的两边于A、B两点（如图7－215（2））． 现在，从A点开始，以AB长为半径，用圆规连续在圆周上截取，截了一次、两次、三次、……也可绕圆周兜了一圈、两圈、……最后，圆规的脚尖总会落到十分接近A点的地方．记住圆规一共截取了几次，一共绕圆周兜了几圈．那么，∠AOB（α）的度数就可以计算

4、出来．假设一共截取了16次，总共绕圆周3圈，那么这个角α的度数就是．这是因为如果把圆规在圆周上截取过的点都与圆心连结起来，那么，圆规截了一次后的中心角就是α，截了两次后的中心角就是2α，……截了十六次后的中心角就是16α．而这16α的角又正好是绕了圆周三圈，所以，16α＝360°×3，即．这就是说，如果要用圆规“量”一个角α，而圆规一共截取了n次，总共绕圆周兜了m圈，那么，这个角α的度数就是．事实说明，虽然步骤较多，也比较麻烦，但是，用圆规还是可以“量”出一个角的大小的（当然，用这种方法“量”角是会有误差的）． 11．“

5、三等分角仪”的制作原理是什么?“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图7－216中阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD（即PB与半圆相切，切点为B）．这便做成

6、了一个“三等分角仪”． 如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点．最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB＝∠BPC＝∠CPN．证明：连结CE，则CE⊥PN．注在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；（

7、6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 12．“盲行转圈”的奥秘是什么?举世闻名的意大利水城威尼斯有一个马尔克广场．一千多年来，无数好奇者在这个广场上重复着一个非常简单而有趣的试验：实验者蒙着眼睛，从广场的南边线中点出发，面对正前方的一座教堂走去（如图7－217（1））．虽然这段路程仅有175米，可是在这无法统计的实验者中，竟无一个人能够到达宽82米的教堂前台阶，全部偏斜到一边，走成了曲线，一直碰到两旁的石柱上． 原苏联有人做过类似实验：在宽阔平整的飞行场地中央．整齐地排列

8、着100名未来的飞行员．把他们的眼睛全部蒙起来后，让他们一直朝正前方走起初，一些人走得还算直；接着，有一部分渐渐偏向右方，另一部分人偏向了左方．走着，走着，全部转了圈子．而这些怪圈都近似于一个圆．在我国民间，也有夜间行路兜圈子，俗称“鬼打墙”的传说托尔斯泰的作品《主人和工人》中，有一段互西科赶着马在风雪交加的荒原上兜