第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C

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1、第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：【答案】【考点】计算【解析】2.农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年2月3日是________九的第________天．【答案】五、九【考点】周期问题【解析】12月21日到31日有：天；1月份有31天；2月1日到2月3日有3天．所以从2012年12月21日到2013年2月3日经过天．，所以是201

2、3年2月10日是五九的第九天．3.最简单分数a满足，且b不超过19，那么a+b的最大可能值与最小可能值之积为________．【答案】253【考点】比较大小，最值【解析】化简可得：．取最小值时，，，，．取最大值时，，，，．的最大可能值与最小可能值积为．4.如图所示，PQ,分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC上的点，且AP:PD=1:4，AQ:QC=3:2．如果正方形ABCD的面积为100，那么三角形PBQ的面积是【答案】37.5【考点】几何【解析】连接，正方形的面积为100，故边长为10，因为，，

3、所以，，，所以．5.四位数与的和为3333，差为693，那么四位数为________．【答案】2013或1320【考点】和差问题【解析】大数等于，小数等于．．6.两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成下图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是________．【答案】270【考点】立体几何表面积【解析】三视图法：表面积在原来棱长为5的正方体表面积的基础上增加了4个

4、棱长为的正方形的一面的面积和4个棱长为的正方形的一面的面积；（题中三个积木的棱长互不相同），，所以表面积为：．7.设a，b，c分别是0~9的数字，它们不同时都是0也不同时都是9．将循环小数化成分数最简分数后，分子有________种不同情况．【答案】660【考点】计数：容斥原理【解析】，根据题意，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复．由，可得：1、1）中3的倍数有个；2）中的倍数有个；说明是3的倍数但不是81的倍数的有个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数．2、中37的倍数有个；说明是3

5、7的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数．3、中3和37的倍数有个；说明是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数．根据容斥原理，约分后会有重复的数有个，则分子有种不同情况．8.由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体图形，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是【答案】55【考点】立体几何：空间想象、最值问题【解析】如图所示，与3点相邻的面分别有2点、1点、4点和6点，所以3的对面为5；与4点不相对的面分别有1点、3点、6点、5点，所以2的对

6、面为4；则1的对面为6．如下图，分别为这个立体图形的六个方向的视图：，本题的难点在于左视图中绿色的确定，通过原图可以看出，当3上面，2在左面时1在后面；所以当2在上面2在前面时，1应该在左面．唯一不能确定的是底视图的中间红色部分，为了让表面的数字和最小，则可以取1．故最大值为．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.下图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米．那么，大正方形的面积是多少平方厘米？【答案】1024【考点】几何面积【解析】将图中空

7、白的正方形摆正，放在大正方形的角上，如下图：两正方形的周长相差80厘米，则右上角的小正方形C的边长为厘米．则长方形A和B的面积都是平方厘米，则空白正方形的边长为厘米，小正方形的面积是平方厘米．大正方形的面积是平方厘米．10.某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生．所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分．那么录取分数线是多少？【答案】87【考点】平均数问题【解析】假设一共有4人参加考试，则有1人录取，3人

8、没有录取．设录取分数线为x分，则有解得，录取分数线，是87分．11.设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n．【答案】7，20，33，46【考点】数论：因数倍数【解析】假设，，．所以m是13的因数，且m大于1，m=13．则，．是13的倍数且n小于50，所以时，n分别等于7，20，33，46．12.一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能．比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分．若任何一个队的总得分都