第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C

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1、第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：【答案】1【考点】计算：分数小数综合运输【解析】2.在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字，则“数学竞赛”所代表的四位数是________．【答案】1962【考点】组合：数字谜【解析】遇到减法数字谜通常变成加法会更利于分析：个位为4，所以赛为2或7，若赛为7则会进位，和的十位只能是奇数，所以；个位为2，若，原式为，有重复数字；所以，．3.如下图，在直角三角形AB

2、C中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD:EF为________．【答案】【考点】几何：沙漏模型【解析】由沙漏模型可知4.下图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了多少秒？【答案】40秒【考点】组合：最值问题【解析】要想时间最少，则需要按如图中的粗线爬行；蚂蚁向上、向下

3、爬行的最短路程是厘米，水平爬行的路程是厘米，所以至少用时秒5.设a，b，c，d，e均是自然数，并且a

4、乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一期向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要________个小时．【答案】4【考点】应用题：工程问题【解析】设注满丙池用小时，则注满乙池用时小时，注满甲池用时小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：所以注满丙池的三分之二需要小时注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧

5、妙，设丙池的时间，最终只需要解即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．7.用八块棱长为1cm的小正方体堆成一个立体图形，其俯视图如下图所示，则共有________种不同的堆法．（经过旋转能重合的算一种堆法）【答案】10【考点】计数：分类枚举【解析】法一：（先每列放几块讨论）可以直接分类枚举，也可以先再每个位置放一块，这样只需要分析剩下4块的方法即可，1种；，3种，，（这两个不一样，此题的易错点），，2种，，，3种，，，，1种，．共：种法二：（按每层放几块讨论）底层已用了四块小方体，

6、考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况．见下图，第二层有一块，只有1种堆法；第二层有两块，有5种堆法；第二层有三块，有3种堆法；第二层有四块，只有1种堆法．总计有10种堆法．8.如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD，连接CF交DE于P点，则【答案】【考点】几何：风筝模型【解析】连接和．因为，所以,又因为，；同理可得；所以．注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.有三个农村在一条公路

7、边，分别在下图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【答案】处【考点】应用题：分类讨论【解析】讨论变化趋势，比较A、B两点设仓库可知A→B运费越来越高，而B→A则运费越来越低，同理可知C→B运费越来越低，而B→C则运费越来越高．具体比较三点：若建在处，运费为：元若建在处，运费为：元若建在处，运费为：元所以建在处

8、运费最低．10.把中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【答案】468【考点】数论：因数倍数【解析】全部分数都化成最简分数分母还是2014，则说明原分子和2014互质，接下来计算1~2013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：法一：（容斥原理），，，，，，；所以1~2013中，与2014互质的数有个；法二：（利用欧拉公式直接计算）因为，所以1~2013中，与2014互质