第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 a

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1、第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A一、填空题（每小题10份，共80分）1.计算：【答案】25【考点】计算【分析】原式=2.农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，冬至那天是一九的第一天．2012年12月21日是冬至，那么2013年的元旦是________九的第________天．【答案】二、3【考点】周期问题【分析】从12月21天到2013年1月1日共计天，，即为二九第3天．3.某些整数分别被除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是则满足条件大于1的最小整数是__

2、______．【答案】316【考点】数论:最小公倍数【分析】除以一个数等于乘以这个数的倒数，，对应着分数部分是：，而1是满足条件的最小的，将分别转化为：，则表明是3的倍数，同理得：是3、5、7、9的最小公倍数，即，的最小值是316．4.如下图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB，则三角形PAC的面积是________【答案】12【考点】平面几何：直线型【分析】如下图所示，作、分别垂直于、；如下图：具体线段长度如图示，有（勾股定理）有（平方厘米）5.有一筐苹果，甲班分，每人3

3、个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少________个．【答案】62【考点】数论：物不知数【分析】假设甲、乙、丙班人数为：人、人、人，可以列算式表示苹果的个数；，说明苹果的个数分别除以3余2，除以4余2，除以5余2；即至少为．6.两个大小不同的正方体粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为________．【答案】74【考点】立体几何：表面积【分析】三视图法：表面

4、积在原来棱长为3的正方体上增加了4个棱长为的正方形；，所以表面积为：．7.设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为________【答案】94【考点】数论：因数、同余【分析】若，则，可得求，即求使得和有大于1的公约数所有的可能值．；，而与互质，所以，满足条件，，解的取值为，即符号条件的有7、18、29、40；和为．8.由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________．【答案】54【考点】立体几何：空间想象、最值问题

5、【分析】由示意图可得，6对面是1，4对面是3，2的对面是5；可得（数字表示黑点数）：知，欲求所有黑点的总数最小，、最小，都为1.或者理解为上面的骰子没了5，左面没了6，右面没了6，中间的至少露出2、5和1此时最小的和为54．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【答案】见下面分析【考点】巧填算符【分析】或者；或者；；；（填法不唯一）10.小明与小华同在小六（一）班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不

6、相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？【答案】25【考点】应用题、倍数、余数【分析】“本班比我大的人是比我小的人数的两倍”可以推出：全班人数是；“本班比我大的人是比我小的人数的三倍”可以推出：全班人数是；合在一起就是全班的人数为，在20到30之间只有满足条件．11.小虎周末到公园划船，九点从租船出处发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水速度是1.5千米/小时；划船时，船在静水中的速度是3千米/小时，每

7、划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流，问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？【答案】1.375千米【考点】行程问题【分析】顺水速度：千米/小时逆水速度：千米/小时水速：千米/小时由下图可得：三段时间划船，三段时间休息．也就是走90分钟，休息30分钟．休息30分钟是顺水，需要用30分钟逆水来平衡抵消，所以只能60分钟划船，顺水速度和逆水速度比是，时间之比是，所以，最远的划行距离是15分钟的顺水和10分钟的休息，即：千米．12.由四个相同的小正方形拼成下图．能否将连续的24个自然数分别放在图中所示24黑点处（每处放一个

8、，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由．【答案】不能【考点】数阵图、构造与论证【分析】假设这24个连续自然数依次是：；有五个正方形，每个正方形边上所放的数之和相等，每个数字都用了两次．假设每个正方形的和为，即有，则是整数，a是除以5余1，，则（是整数，