《高次方程》讲义

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1、高次方程一般地，我们把关于的方程称为的次代数方程一般式．其中当时，方程为高次方程．1．代数基本定理代数基本定理：关于的复系数方程有且只有个根（重根按重数计算）．代数基本定理的完整证明需要用到高等数学，在此就不多加叙述了．2．因式定理根据代数基本定理，设方程的根分别为，，，，（含重根，下同），由方程与根的关系可知，上述方程可变形为．反过来，方程可化为根是，，，，的方程．由此可以得到，若是方程的一个根，则就是多项式的一个因式．3．韦达定理我们知道复数范围内，当方程的根为，，，，时，方程等价于方程．即的展开式为．根据运算法则，可得：．∴；；；这就是次方程的韦达定

2、理．特别的，当时，有，，．当时，有，．4．试根法在复数或实数范围内，高次方程的一般解法相对较繁琐，或非常低效率，甚至超过四次方程不存在一般的解法；而在有理数范围内求解则会快捷和简便得多；事实上，多数情况下高次方程也只是被要求在有理数范围内求解．在有理数范围内求根时，由韦达定理可知，方程存在的根，，，，满足，即，，，，均为的因子．因此，对于次方程的一般式，我们可以先分别找出最高次项系数和常数项各自的整数因子（含符号），然后将的各因子分别除以的各因子，它们的商依次代入方程，若方程成立，该商便是方程的根．特别地，当常数项时，定是方程的一个根．当时，是方程的根．一

3、般地，我们可以先尝试特殊数值如，，等代入方程试根验证方程是否成立．5．多项式除法（又叫大除法或综合除法）通过试根法试出的根满足方程，根据因式定理，则为多项式的一个因式．如，经验证，是方程的一个根，则是多项式的一个因式．下面我们介绍多项式除法，将多项式除以它的因子，为了便于理解，我举具体例子进行讲解：多项式除以它的因式．具体如下：其中，被除数放在竖式根号内，除数放在根号外，且均按降幂排列，遇有次数不连续如本题多项式中项和中没有项，则添加（如本题添加）中间次数不连续的项，且添加的项的系数为．由上式得，这样，我们就把求方程的根降次为求方程的根．如果降次后的方程还

4、存在有理数根，我们就可以继续试根后用多项式除法，降低新的方程的次数，依此类推下去直至我们熟悉的一次方程或二次方程．6．三次方程一般解法这里我们着重讲解一般三次方程在实数范围内的一般解法．由可得………………………………①其中，，．设，代入①式得：…………………………②令得，，代入②式得：………………………………………………③记，，代入③式可化简为：…………………………………………………………………………④再设…………………………………………………………………⑤代入④式得：再令，得：……………………………………………………………………………………⑥………………

5、…………………………………………………………………⑦⑦式两边同时乘以得，，…………………………………⑧将⑥式代入⑧式得，再记……………………………………………………………………………⑨得解得………………………………………………………………⑩将⑩式代入⑨式解得，将解得的代入⑦式，解得，再将解得的，代入⑤式解得，由解得的和代入解得得方程的解．最后，布置一道问题：用三次方程的解法解出，．