[其它]高数一第一次辅导讲义

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1、《高等数学》(一)学习辅导第一部分：内容提要和考试要求一、函数、极限与连续（1）理解函数的概念，理解函数的两个要素：函数的定义域与函数的对应法则（2）理解函数的奇偶性和单调性，了解函数的有界性和周期性（3）了解反函数的概念，会求单调函数的反函数（4）理解和掌握函数的四则运算和复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象，了解初等函数的概念（6）了解函数极限的直观概念.（7）理解函数在一点处左、右极限的概念，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件.（8）熟练掌握用两个重要极

2、限求极限的方法.（9）掌握极限的四则运算法则.（10）理解无穷小量概念，了解无穷大量概念，掌握无穷小量性质.了解无穷小量的阶的概念.（11）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点连续的方法.（12）了解在闭区间上连续函数的性质（13）理解初等函数在其定义区间上性质.并会利用函数连续性求极限.二、一元函数微分学（1）理解导数的概念及其几何意义.（2）会求曲线上一点处的切线方程.（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法.（4）掌握隐函数的求导法.（5）了

3、解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数.（6）理解微分的概念.会求函数的一阶微分.（7）熟练掌握用洛必达法则求、、、、型未定式的极限方法.（8）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式（9）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，并会求解简单的应用问题（10）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点三、一元函数积分学（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质（2）熟练掌握不定积分的基本公式(3)理解定积分的概念、基本性质

4、、定积分中值定理(4)掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式）.(5)运用定积分的换元法和分部积分法计算定积分.(6)运用定积分求平面曲线围成图形的面积和简单立体的体积.第二部分：解题方法和典型例题一、求极限的主要方法1.利用各极限定理与性质（包括左右极限定理、单调有界定理、夹逼准则等）.2.运用四则运算公式与连续性求定式的极限.3.求未定式的极限，常用如下方法：（1）未定式变形法，即运用初等变形（通分、约分、同乘同除、有理化分母与分子、求数列之和、用恒等式或三角公

5、式变形、换元法、取对数等）化未定式为定式，再求出极限.（2）利用重要极限与常用极限公式，利用等价无穷小求极限.（3）利用洛必达法则求极限（作为导数的应用）.例1求解：题目含和，需用左、右极限来求.左极限=右极限=所以原极限=1.例2求解：题目比较复杂，可用等价无穷小替换变简单.原式=例3设，求解先证数列存在极限.易知当时，.假设时，，则当时，，所以，即是有界数列.由于，所以，从而，则，故是单调增加数列，从而数列必定存在极限.设，对等式两边取极限，得，从而（舍去）.例4已知，求解　因为　　　　　　，所以　

6、　　　　　　　　，从而.以代入原式得原式=所以.二、一元函数微分法1.要求掌握导数、微分及高阶导数的定义和几何意义.2.熟练掌握计算导数、导函数、微分及高阶导数的各种方法，特别是复合函数、隐函数求导公式、对数求导法等.例5设，求和解:当时，当时，由于不存在极限，所以在处不连续，故在不可导，即不存在.例6求二次曲线上任一点处切线方程.解:由隐函数求导法，将方程两边对求导得，,从而切线斜率故切线方程为例7求函数的阶导数.解例8设对任何都满足，且（常数），求解令，则，从而三、微分中值定理与导数的应用1.掌握罗

7、尔定理、拉格朗日定理的条件、结论、几何意义、相互关系.2.熟练运用洛必达法则求各种未定式的极限（包括七种类型）.3.利用导数研究函数的各种性态（包括单调性、极值、最值及应用题、凹凸性及拐点）.例9设，其中有二阶连续导数，且.（1）确定的值，使在点处连续.（2）求.（3）讨论在点处的连续性.解（1）利用洛必达法则求极限：所以当时，，这时在点处连续.（2）时，时，用定义求导数：（3）所以在处连续.四、计算不定积分的方法主要有：直接积分法、两个换元积分法、分部积分法、有理函数及可化为有理函数的积分法等，其中换

8、元法和分部积分法是常用的两个主要方法.例10已知的一个原函数为，求.解因为，即，所以例11已知，求.解令，则，从而，所以考虑到上式中的，且题目设时所以应取，从而应舍去，故例12求解若先让凑成，计算将很复杂，应优先化简分母.原式例13求解原式五、定积分及其应用1.理解定积分的概念、基本性质、定积分中值定理.2.掌握微积分基本定理（即变上限积分定理）和微积分基本公式（即牛顿-莱布尼兹公式），利用求原函数（或不定积分）和牛顿-莱布尼兹公式计算定积