小议“双线性插值”

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1、小议“双线性插值”摄影测量课上老师说“双线性插值”之所以叫做“双线性”，是因为在插值的时候在x、y两个方向上权是线性的，这应该是从地理要素的相关性方面来说的吧，不过我们也可以从纯数学的角度来看这个问题，并且在更一般的情况下，数学上的描述更易理解。先来看看在二维平面的线性插值，这也是我们最熟悉的线性插值：已知平面曲线上两个点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））(x1

2、认为曲线在这一个区间上是一段线段（有点像求曲率一样，呵呵），于是（x，f（x））就是这条线段上的一点，于是想要求f（x）可以如下计算：f(x)=[(x-x1)/(x2-x1)]*[f(x2)-f(x1)]+f(x1)式即所谓的线性插值的计算式（教材上的计算公式可能不是这样，但是结果是完全一样的），[(x-x1)/(x2-x1)]实际上表示的是当自变量从x1增加到x时，因变量从f(x1)增加到f（x）时，增量在f（x2）-f（x1）这一差值上所占的比例，可以设为λ，线性函数情况下十分容易证明。当x1、x2恰好相差一个单位长度时，令x-x1为Δx（Δx∈[0,1]

3、），则λ=Δx，式可以变为f(x)=Δx*[f(x2)-f(x1)]+f(x1)整理得：f(x)=(1-Δx)*f(x1)+Δx*f(x2)当用λ替换Δx时，就可以用来讨论函数的凸性了。式已经初具双线性插值的“形态”，下面来考虑在三维空间的线性插值，已知曲面上的四个点（x1，y1，f（x1，y1））、（x2，y2，f（x2，y2））(x1

4、所示图1和平面内一样，存在已知的四个点不能求出曲面方程的情况，于是假设四个点在一个很小的区域内，将这一区域看成一个平面，于是f（x，y）的计算过程如下：图2如图2，这是图1中从Z轴正上方对曲面进行平行投影得到的，两条虚线是两个平行于Z轴，分别垂直于X轴、Y轴的两个平面与平面XOY的交线，两条虚线的交点就是（x，y，0），则过（x，y，0）的一条垂直于曲面的交点就是（x，y，f（x，y）），又由于区域1234对应的曲面此时看做平面，故两个平行于Z轴的平面与此曲面的交线是两条线段，将组成区域1234的四条边在Z方向上“延伸”，则得到的四个平面与区域1234对应的曲

5、面的交线也是线段，于是想要求得f（x，y），只需现在X轴方向以3、4点和1、2点线性内插出M、N点对应的f（M）、f（N），然后用（M，f（M））、（N，f（N）两个点在Y轴方向再做一次线性内插，就可以求得f（x，y），但是由于在内插过程中还要计算（也可以使用线性内插计算）出M、N的y坐标值，很繁琐，不再描述。和二维平面一样，假设1、2、3、4四个点排列十分规整，当从Z轴正上方对其进行平行投影是，在平面XOY上，四个投影点的位置如下图所示，且设X、Y方向都只相距一个单位长度，图3即四个点的坐标为1（x1，y1，f（x1，y1））、2（x2，y1，f（x2，y1

6、））、3（x1，y2，f（x1，y2））、4（x2，y2，f（x2，y2））(x1

7、后再写成矩阵形式，那么上面计算过程就是一个卷积过程了，然而实际上，卷积的计算变为上式速度更快。当线性内插问题提升到四维空间的时候，我们就需要知道8个点才能进行先行内插了，此时是将一个“超曲面”的一小部分看做了一个超平面，同样在每一个维度上仍然是线性关系，想象一个顶点排列十分规则（如前所述）的单位立方体，已知八个顶点在四维空间的坐标，需要内插出（x，y，z）对应的函数值f（x，y，z），那么我们可以先在立方体的上下两个面内，利用每个面的四个顶点各自内插出一个点，最后再在Z轴方向上做一次内插即可，如果已知的八个点的前三维坐标构成的不是上述的立方体，而是一个一般的六

8、面体，那么计算就会非常麻烦，前面在三维