专题-6 相似三角形

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1、三角形专题三★相似三角形一.比例相关知识1、比例线段的概念在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．例1.若，那请判断是否成比例线段？例2.已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于_____2、比例的性质(一)、基本性质：(1)；(2)．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，．例1.已知数3、

2、6，再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（二）、更比性质(交换比例的内项或外项)：（三）、反比性质(把比的前项、后项交换)：．（四）、合比性质：．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如等等．例1.已知5y－4x＝0，那么（x＋y）︰（x－y）的值等于_____________第8页（五）、等比性质：如果，那么．注意：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将

3、连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．例1.如果x︰y︰z＝1︰3︰5，那么＝___________例2.已知，若，则＝例3.已知，则的值为3、比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．例1(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1.如图，DE∥BC，在

4、下列比例式中，不能成立的是………………………………（　　）（A）＝　（B）＝　（C）＝　（D）＝例2例2.已知如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（）A、B、C、D、例3．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，＝2，则AB＝___________．第8页二.相似三角形1、相似三角形概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形

5、的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：，∽．例1．如图，已知DE∥BC，且BF：EF＝4︰3，则AC︰AE＝__________．3、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一有∽．(2)对称性：若∽，则∽．(3)传递性：若∽，且∽，则∽．4、三角形相似的判定方法三角形相似的判

6、定方法：1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．第8页(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注意：三角形相似的判定方法是将全等三

7、角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”．例1.下列判断中，正确的是………………………………………………………………（　　）（A）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似（C）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D）邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似例2.如图1，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有………（　　）（A）1对（B）2对　　（C）3对（D）4对例3.已知：如图2，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似