函数项级数一致收敛性的判别法

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1、函数项级数一致收敛性的判别法摘要函数项级数是数学分析中的重点和难点，因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要，木文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用Z来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易.关键词函数项级数；一致收敛性；判别法.中图分类号0173.1FunctionSeiesConvergenceCriterionAbstract：Functionisamathematicalanalysisofseriesoffocusanddifficult,sothediscussionandanalysisofitsnatureanditisparticular

2、lyimportanttoidentifymethods.Inthispaper,thedefinitionofFunctionseriesanduniformconvergenceofFunctionseriesofdiscriminanttheorem,andusedtosolvetheseriesofuniformconvergenceofFunctionofsomeoftheproblemsiseasie匚Keywords：Functionseries;Uniformconvergenceof;Discriminanee1引言及预备知识如果函数项级数具有一致收敛性，函数项级数的和函数

3、或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义，如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构，找到判别一致收敛性的判别法.定义1.1[1]设吗（兀）"（对，・・・血（兀），・・・是一列定义在D上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式OO绚（兀）+«2（兀）+…+知（兀）+…或工冷（X）,（1）n=l称为函数项级数.Vt/eD函数级数在d对应一个数值级数OO（tz）=Wj（tz）+w2（＜2）+•••+U（«）+・••・（2）心它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数（2）收敛，则称。是函数级数（1）的收敛点；若级数（2）发散，则称d是函数级数（1）的发散点.定义1

4、.2[1]函数项级数（1）的收敛点的集合，称为函数项级数（1）的收敛域，若收敛域是一个区间，则称此区间是函数项级数的收敛区间.定义1.3[1]设数集E为函数项级数、＞,对的收敛域，则对每个xeE记S（x）二n=l（x）称s（x）为函数项级数（x）的和函数.Z/=lH=1定义1.4［1］设冷（x）,（n二1,2・・・）都是在数集D上有定义的函数,若存在一个在£>上有定义的函数S（X）,对任意的§>0,存在自然数集N,使得当77>N时.对一切的xgD均有II"则称函数项级数$>〃（兀）在数集D上一致收敛于S。）・k=］n=引理1.1⑶函数项级数一致收敛的柯西准则：函数项级数$>,心在数集D上一

5、致收敛/:=1的充要条件是:对任意的£>0,存在自然数集N,使n2N时，对任意的自然数〃及一切xwD均有X冷⑴A:=//+l引理1.2皿阿贝尔引理若i）E6.・・6是单调，ii）对任意正整数k（l<^

6、W3£A.k=2主要结论及初步应用2.1地尼判别法定理1设un（x）>0在［a,b］上连续，7?=1,2…有£冷（兀）在［⑦创收敛于连续函数/（x）,n=则£他（尤）在［d,b］上一致收敛于/（兀）・n=l证用反证法若5>”（对在US不一致收敛于连续函数/（x）,S,Q）为级数的部分和,/:=1则3^>0,/I,

7、2f(xnk)-Sflk(x^)>£0.令Rtoo,由于/（x）-sw,（x）的连续性，因此/（兀0）-,”（兀0）»£0这与£给（兀0）收敛于幵=

8、》冷（兀0）矛盾.n=l（v-Y例1证明在区间［0,1］上函数序列1+兰，（斤=1,2,・・・）一致收敛于『・I斤丿证〔1+兰］在区间［0,1］上递增趋于在［0,1］上连续，应用地尼定理所以I"丿‘1+兰丫是一致收敛于『・In）例2函数序列fn（x）=-一J——-

9、⑺=1,2,…）是一致收敛.'\£〃+1+-证由于lim/”(x)=——,xg[0,1],又因"T81+K1+HXX-efl_(1+_)"n(XZ、"、en+1+兰（1+于）<"丿丿

10、AU)-/(x)

11、=