函数项级数一致收敛性判别法.doc

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1、函数项级数的一致收敛性判别法1：魏尔斯特拉斯判别法定理13．5(魏尔斯特拉斯判别法)设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切，有(13)则函数项级数在D上一致收敛．证由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数N，使得当及任何正整数，有又由(13)式对一切有根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数在D上一致收敛.例5函数项级数在上一致收敛.因为对一切有而正项级数是收敛的.定理13.5也称为M判别法或优级数判别法.当级数与级数在区间上成立关系式(13)时,则称级数在上优于级数,或称为的优级数．下面讨论定义在区间上形如（14）的函数项级数的一致收

2、敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝耳分部求和公式(第十二章§3的引理).2：柯西判别法定理13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得当时，对一切和一切正整数，都有或此定理中当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件．3：阿贝耳判别法定理13.6(阿贝耳判别法)设在区间I上一致收敛；对于每一个是单调的；在上一致有界，即对一切和正整数，存在正数M，使得则级数在上一致收敛．证由,任给存在某正数N,使得当及任何正整数,对一切有又由,及阿贝耳引理(第十二章§3的引理的推论)到.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准

3、则就得到本定理的结论.4：狄利克雷判别法定理13.7(狄利克雷判别法)设的部分和函数列在I上一致有界；对于每一个，是单调的；在I上则级数（14）在I上一致收敛．证证法与定理相仿。由，存在正数M，对一切，有因此当为任何正整数时，对任何一个，再由及阿贝耳引理，得到，再由，对任给的，存在正数N，当时，对一切，有所以于是由一致收敛的柯西准则，级数（14）在I上一致收敛。例函数项级数在上一致收敛因为记时，由阿贝耳判别法（定理13.6）就得能到结果．例若数列单调且收敛于零，则级数(15)在上一致收敛．证在上有所以级数的部分和函数列在上一致有界，于是令则由狄利克雷判别法可得级数（15）在上

4、一致收敛。对于例7中的级数（15），只要单调且收敛于零，那么级数（15）在不包含的任何闭区间上都一致收敛．