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《函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有则称函数列在上一致收敛于，记作，设是定义在数集上的一个函数列，表达式称为定义在上的函数项级数,简记为或；称,,为函数项级数的部分和函数列．设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项．定义1 设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或称在上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据
2、函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2 设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛．同时由，故在上一致收敛于0．定义3 设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛．例1 试证在上一致收敛，但在内不一致收敛．证明 显然在内收敛于．对任意的，欲使当和时，恒有成立,只要当时,恒有成立,只要当时,恒有 成立,只要当时，恒有成立，只要取即可．依定义，在
3、上一致收敛于．存在，对任意自然数，都存在和，使成立，依定义，在内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1 Cauchy一致收敛准则函数项级数在数集上一致敛的充要条件为：对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有 或 或 特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1 函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于．定理2函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是： ．定理3 放大法是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对
4、于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.证明 因,故对任给的,(与无关),使得当时,对一切,都有.由定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于.注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,需要知道.定理4 确界法函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是证明 充分性 设是函数项级数的部分和函数列,为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数.必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5 若在区间上收敛,则在上一致收敛的充要条件是
5、,有.证明 充分性 假设在上不一致收敛,则,,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾.必要性 因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得.例2 设，，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于．证明 已知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且>0,时,有.将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当时,.从而时更有即,仅当.如上所述,对每个点,可找到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.如此{:}构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.定理6 判别法或优
6、先级判别法或Weierstrass判别法设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有 则函数项级数在上一致收敛.证明 由假设正项级数收敛,根据函数项级数的Cauchy准则,,某正整数,使得当及任何正整数,有又由(3)对一切,有根据函数项级数一致收敛的Cauchy准则,级数在上一致收敛.注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3 函数项级数在上一致收敛,因为对一切有,而正项级数是收敛的.推论2 设有函数项级数,存在一收敛的正项级数,使得对于有,则函数项级数
7、在区间一致收敛证明 已知,即有即,从而,又因为收敛,则也收敛,由判别法得函数项级数在区间一致收敛.由广义调和级数,当时收敛,故当=时,有推论 设有函数项级数,若存在极限且,则函数项级数在区间一致收敛.例4证明函数项级数在是一致收敛的.证明 对于,存在收敛的正项级数,且由的推论2与推论得,在一致收敛.定理7 比较判别法两个函数项级数与,若,当有(其中为正常数),且函数项级数在区间绝对一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.证明 已知在区间绝对一致收敛,即对(其中为正常数),及,有；又由条件知有；取当,有．由收敛级数一致收敛Cauchy准则知，函数项级数
8、在区间一致收敛，从而函数项级数在区间绝对一致收敛.定理8 若有函数级数与,,有(其中为正常数),且函数项级数在区间一致收敛,则函数区间绝对一致收敛.证
