函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳[修订]

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1、函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳-定义引言设函数列｛/”｝与函数/定义在同一•数集D上，若对任给的正数£，总存在某一正数N,使得当n>N时，对一切xgD,都有则称函数列｛九｝在上一致收敛丁•/（J,记作九（兀）［/（兀）（77TOO）,XeD设知（兀）是定义在数集E上的一个函数列，表达式wI（尢）+u2（兀）+…+un（兀）+…，xeE（1）00称为定义在E上的函数项级数,简记为£知（兀）或》>”（兀）；称n=ln$”（兀）=工你（兀），xeEtn=1,2,••-⑵为函数项级数⑴的部分和函数列.0000设数集D为函数项级数工知（兀）的收敛域，则

2、对每个xwD,记S（x）=Y知⑴,即n=Ih=1oolimS/l（x）=S（x）,xeD,称S（x）为函数项级数工仏（x）的和函数，称/?/%）=S（x）-S„（%）/

3、=1为函数项级数工知（兀）的余项.定义1⑴设£©）｝是函数项级数工叫（兀）的部分和函数列，若仅（兀）｝在数集D上一致收敛于函数S（x）,或称函数项级数工un（x）在D上一致收敛于S（兀）,或称工un（x）在Q上一致收敛.由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列來确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义.定义2⑴设匕⑴｝是函数项级数工知⑴的部分和函数列，函数列仅⑴｝,和函数S(

4、x)都是定义在同一数集Q上，若对于任给的正数£,总存在某一止整数N,使得当n>N时，对一切xeD,都有

5、SO—S(x)

6、v£,则称函数项级数工叫⑴在D上一致收敛于函数S(Q,或称工知(兀)在D上一致收敛.同时由Rn(x)

7、=£(x)-5(x)

8、<£,故Rn(兀)在xeD上一致收敛于0・定义3设两数项级数工知(切在区间D上收敛，其和函数为S(x)二工知(Q,部分和函数列S”(兀)=£知(兀)，若握>0,X/NwN+,九〉N及衣wD，使得卜(兀)-X)

9、>6，则函数项级数为知(兀)在区间D上非一致收敛.例1试证艺兀"在[-r,r](0

10、(-1,1)内不一致收敛.证明显然工H在(-1,1)内收敛于亠—x对任意的£〉0,欲使当n>N和-厂5兀S时，恒有成立,只要当n>N时,恒有成立,只要当h〉N时,恒有成立,只要当n>N时，恒有成立，只要取n」咏1小lg厂lg（l—厂）£lg厂00即可.依定义，£疋在[-r,r]±一致收敛于亠n=I1一兀存在对任意门然数N,都存在no=N+i>N和暫二理上1丘（_1,1）,使eN+2j兀。一七"戶一N+I2h°1一£1一乙r1yv+,£i+—IN+1丿00成立，依定义，£*在（-1,1）内不一致收敛.n=l二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy一

11、致收敛准则1,1函数项级数工如（尢）在数集D上一致敛的充要条件为：对/£〉0,总使得当n>NW,对一切xwD和一切正整数"，都有或

12、%】（兀）+知+2&）+•••+%卩何<£H+P或工蘇（兀）<£k=n^特别地，当0=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必耍条件：推论1函数项级数在工知⑴在数集D上一致收敛的必耍条件是函数列｛uti（x）｝在Q上一致收敛于0・00定理2⑵两数项级数£知（兀）在点集Q上一致收敛于SCO的充分必要条件是：n=limsup"TOO为叫(兀)-S(xk=定理3放大法⑶{Sn(x)}是函数项级数工血(兀)的部分和函数列,和函数S⑴

13、，都是定义在同一数集D上,对于任意的n,存在数歹！J{an}(aft>0),使得对于0兀eD,有此(期=

14、S(x)-S”(兀j<°”，且linw”=0,则称函数列仅⑴}一致收敛F5U),即函数项级数YuM在D上一致收敛于函数S⑴.证明因lima”=0,故刈■任给的£〉o,3NeN+(与兀无关)，使得当川〉N吋,对一切n->co兀wD,都有此(幼=S(x)-Sn^

15、数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是limsupRn(x]=limsuplS(x)-Sn(x)

16、=0"T8X""TCOxS证明充分性设匕⑴}是函数项级数的部分和函数列，S(x)为和函数，则有Rn(x)=心)一Sfl(x),并令an=supRn(x)，而limsupRn(兀)=0,即limd”=0,由定理3(放xeD“toos"TO大法)得知函数项级数工如(x)—致收敛丁函数s(x)・必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题.定理5若工“”(兀)在区间D上收敛，则》>仏)在D上一致收敛的充要条件是V{xn}u£>,有limRn(x)

17、=0.n->co证明充分性假设工血⑴在Q上不一致收敛