【例21】 , 为柱面 界于 与 之间部分的外侧 - 中国教

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1、北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题21-30【例21】，为柱面界于与之间部分的外侧.【详解】因为：垂直于面，所以.应用高斯公式：补平面取上侧.补平面取上侧.则=，其中=====（因垂直与面与面）..所以，=【例22】设均是阶矩阵，，则【详解】直接利用上述公式简化行列式运算。而，。于是【例23】设行列式，则的展开式中，的系数是，的系数是。【详解】若行列式中含有变量，则该行列式展开后成为关于的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。利用行列式的性质，将含有变量的项移到主对角线上。将行列式的第2、3行交换，得（第1行加到第

2、2列）含，的项仅有主对角线上元素乘积项，即所以，，的系数分别是15，。【例24】已知A、B为3阶矩阵，且满足，其中E是3阶单位矩阵。（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若，求矩阵A.【详解】（1），∴，，，即，.∴可逆.（2）又，∴，【例25】已知向量组及向量组.若可由线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。【详解】以向量，为列构成矩阵A，对A作初等行变换，得可由线性表出，∴即。当时，继续对A初等行变换，得∴即向量组可由线性表出，但反之不能，即不能由线性表出。这是因为秩线性无关，而秩线性相关，因此这两个向量组与不可能等价。不

3、能由线性表出。【例26】设线性方程组的系数矩阵为A，3阶矩阵，且，试求的值。【详解】令，，∴.由于A与B均为3阶方阵，且，则。又，，矩阵A必不可逆，∴.即【例27】若矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值，并求可逆矩阵使。【详解】矩阵A的特征多项式为故A的特征值为由于A相似于地角矩阵A，故对应于应有两个线性无关的特征向量，因此矩阵的秩应为1。，由此得。于是对应于的两个线性无关特征向量可取为。当时，解方程组。令P=，则P可逆，并有。【例28】设矩阵，，已知线性方程组有解但不唯一，试求：（1）的值；（2）正交矩阵，使为对角矩阵。【详解】（1

4、）由题意，线性方程组有解但不惟一，所以，且秩秩。（用行元素相加法）可求得。令，解得。当时，秩不等于秩，此时方程组无解；当时，秩等于秩。此时方程组的解存在但不惟一，于是。（2）把代入中，计算特征多项式。由此知的特征值为。对应的特征向量依次是。将其单位化，得。令，则。【例29】已知向量是二次型的矩阵A的特征向量，求正交变换化该二次型为标准型。【详解】，又是A的特征向量，∴设所对应的特征值为，有。即，，即。，则。计算A的特征多项式，则A的特征值为，，。解方程组得，其基础解系为。又解方程组得，即，其基础解系为。令，则P为正交矩阵，作正交变换

5、，得=。【例30】一袋中装有N-1只黑球及一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第K次摸球时，摸到黑球的概率为。【详解】设则其逆事件